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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 37

Calcule a integral.

∫ 0 π / 2 3   s e n 2 t cos ⁡ t   i + 3   s e n   t cos 2 ⁡ t j + 2   s e n   t cos ⁡ t   k d t

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Aqui a questão é bem direta, deveremos resolver essa integral e pronto.

A integral de uma função vetorial é obtida integrando-se seus componentes. Logo, temos

∫ 0 π / 2 3   s e n 2 t cos ⁡ t   i + 3   s e n   t cos 2 ⁡ t j + 2   s e n   t cos ⁡ t   k d t

= 3 ∫ 0 π 2   s e n 2 t cos ⁡ t   d t i + 3 ∫ 0 π 2   s e n   t cos 2 ⁡ t   d t j + 2 ∫ 0 π 2   s e n   t cos ⁡ t   d t k

Vamos resolver cada um separadamente. Para todas as integrais aqui presentes, uma substituição simples de variável consegue nos ajudar a resolver.

Passo 2

Começando a resolução com:

3 ∫ 0 π 2   s e n 2 t cos ⁡ t   d t

Vamos resolver por substituição, fazendo:

u = sin ⁡ t

d u = cos ⁡ t   d t

Substituindo na integral:

3 ∫ 0 π 2   u 2   d u = 3 u 3 3 0 π 2

Aplicando os limites de integração e voltando pra variável t , temos:

3 sin 3 ⁡ t 3 0 π 2 = sin 3 ⁡ π 2 - sin 3 ⁡ 0 = 1

Passo 3

Resolvendo a segunda integral:

3 ∫ 0 π 2   s e n   t cos 2 ⁡ t   d t

Vamos usar o mesmo método, dessa vez fazendo:

u = cos ⁡ t

d u = - sin ⁡ t d t

Substituindo na integral:

- 3 ∫ 0 π 2 u 2 d u   = - 3 u 3 3 0 π 2

Voltando pra variável t e substituindo os limites de integração, temos:

- 3 cos 3 ⁡ t 3 0 π 2 = - cos 3 ⁡ π 2 - ( - cos 3 ⁡ 0 )

3 ∫ 0 π 2   s e n   t cos 2 ⁡ t   d t = - 0 + 1 = 1

Passo 4

Na terceira integral, temos:

2 ∫ 0 π 2   s e n   t cos ⁡ t   d t

Fazendo:

u = sin ⁡ t

d u = cos ⁡ t   d t

Substituindo na integral:

2 ∫ 0 π 2 u d u = 2 u 2 2 0 π 2

Voltando pra variável t :

2 sin 2 ⁡ t 2 0 π 2 = sin 2 ⁡ π 2 - sin 2 ⁡ 0

∫ 0 π 2   s e n   t cos 2 ⁡ t   d t

2 ∫ 0 π 2   s e n   t cos ⁡ t   d t = 1 - 0 = 1

Passo 5

Prontinho, agora podemos juntar tudo na nossa integral original:

∫ 0 π / 2 3   s e n 2 t cos ⁡ t   i + 3   s e n   t cos 2 ⁡ t j + 2   s e n   t cos ⁡ t   k d t

Usando os resultados dos passos anteriores, temos:

1 i + 1 j + 1 k

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

i + j + k

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Encontre r t se r ' t = ti + e t j + t e tk e r 0 = i + j + k .
Demonstre a fórmula 3 do Teorema 3. d d t f ( t ) u t = f ' t u t + f t u ' ( t )
Calcule a integral. ∫ 0 1 4 1 + t 2 j + 2 t 1 + t 2k d t