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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 36

Calcule a integral.

∫ 0 1 4 1 + t 2 j + 2 t 1 + t 2   k d t

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral:

∫ 0 1 4 1 + t 2 j + 2 t 1 + t 2   k d t

Para isso, basta a gente saber que a integral da soma é a soma de integrais, ou seja:

∫ f i + g j d x = ∫ f i d x + ∫ g j d x

A gente em seguida resolve cada uma separadamente.

Passo 2

A integral de uma função vetorial é obtida integrando-se seus componentes. Logo, temos

∫ 0 1 4 1 + t 2 j + 2 t 1 + t 2   k d t

= 4 ∫ 0 1 1 1 + t 2 d t j + 2 ∫ 0 1 t 1 + t 2 d t k

Observe que a primeira integral é tabelada e igual à t g - 1   x .

Já a segunda pode ser calculada por substituição. Continuando a resolução temos:

= 4 t g - 1 t 0 1   j + 2 1 2 ln ⁡ 1 + t 2 0 1 k

Aplicando os limites de integração e resolvendo:

= 4 t g - 1 1 - t g - 1 0 j + [ ln ⁡ 2 - l n 1 ] k

= 4 π 4 - 0 j + l n 2 - 0 k

= π j + ln ⁡ 2   k

Resposta

π j + ln ⁡ 2   k

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(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.(b) Determine r ’ ( t ) .(c) Esboce o vetor posição r ( t ) e o vetor tangente r ’ ( t ) para o valor dado de t . r t = t - 2 ,t 2 + 1 , t
Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado. r t = 4 ti + t 2j + tk ,t = 1
Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado. r t = 6 t 5 , 4 t 3 , 2 t ,t = 1
Calcule a integral. ∫ cos ⁡ π ti + s e nπ tj + tk d t
Calcule a integral. ∫ 1 2 t 2i + tt - 1j +t sen ⁡ π tk d t