Calcule a integral.

∫ 0 1 4 1 + t 2 j + 2 t 1 + t 2   k d t

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral:

∫ 0 1 4 1 + t 2 j + 2 t 1 + t 2   k d t

Para isso, basta a gente saber que a integral da soma é a soma de integrais, ou seja:

∫ f i + g j d x = ∫ f i d x + ∫ g j d x

A gente em seguida resolve cada uma separadamente.

Passo 2

A integral de uma função vetorial é obtida integrando-se seus componentes. Logo, temos

∫ 0 1 4 1 + t 2 j + 2 t 1 + t 2   k d t

= 4 ∫ 0 1 1 1 + t 2 d t j + 2 ∫ 0 1 t 1 + t 2 d t k

Observe que a primeira integral é tabelada e igual à t g - 1   x .

Já a segunda pode ser calculada por substituição. Continuando a resolução temos:

= 4 t g - 1 t 0 1   j + 2 1 2 ln ⁡ 1 + t 2 0 1 k

Aplicando os limites de integração e resolvendo:

= 4 t g - 1 1 - t g - 1 0 j + [ ln ⁡ 2 - l n 1 ] k

= 4 π 4 - 0 j + l n 2 - 0 k

= π j + ln ⁡ 2   k

Resposta

π j + ln ⁡ 2   k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados