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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 67

  1. Calcule a integral ∫ s e n   x cos ⁡ x     d x por dois métodos: primeiro fazendo u = s e n   x e depois u = cos ⁡ x .
  2. Explique por que as duas respostas aparentemente diferentes são equivalentes.

Passo 1

  1. Vamos lá, primeiro usando a substituição u = s e n   x :

    2. Vamos ter d u = cos ⁡ x   d x . Montando a integral então:

    ∫ u   d u

    Resolvendo em u :

    u 2 2 + C

    Voltando para a variável x agora:

    s e n 2 x 2 + C

    Beleza, essa já foi!

    Passo 2

    Vamos para a substituição u = cos ⁡ x   agora. Teremos d u =   - s e n   x   d x . Montando a integral:

    ∫ - u   d u

    Integrando em u :

    - u 2 2 + K

    Voltando para x :

    - cos 2 ⁡ x 2 + K

    Passo 3

  2. A pergunta agora é: por que essas duas são iguais? Elas diferem por uma constante. Como assim? Pensa por exemplo se tivermos x = π 2 . Aí vamos ter:

s e n 2 x 2 + C = 1 2 + C

e

- cos 2 ⁡ x 2 + K = 0 + K

Se eu tiver então:

K = 1 2 + C

Fica igual!

Ou seja, elas podem ser iguais, é só as minhas constantes se adaptarem. Como elas são arbitrárias, isso pode acontecer sem problemas😉

Resposta

a )   s e n 2 x 2 + C   e - cos 2 ⁡ x 2 + K  

b) elas diferem por uma constante.

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c) ∫ t g 3 2 x sec ⁡ 2 x d x
a) ∫ t g 5 x sec 2 ⁡ x d x
g) ∫ sec 4 ⁡ ( x ) d x
f) ∫ t g 5 x sec 4 ⁡ ( x ) d x
d) ∫ t g 3 3 xd x