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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 69

Resolva os problemas de valor inicial:

(d y)/(d x) = sqrt(5 x + 1) , y (3) = - 2

Passo 1

Isso aí é uma EDO separável. A gente faz o seguinte:

d y = sqrt(5 x + 1) d x

E aí pra resolver a gente integra os dois lados:

int d y = int sqrt(5 x + 1) d x

Bom, essa do lado direto vai ser y mesmo né, a gente precisa integrar o outro lado então...

Passo 2

Vamos fazer essa aqui:

int sqrt(5 x + 1) d x

Vamos fazer u = 5 x + 1 . Teremos d u = 5 d x . Substituindo a gente fica com:

(1)/(5) int sqrt(u) d u

Integrando em u :

(1)/(5) ((2)/(3) u^((3)/(2)))

A gente volta pra x ...

(2)/(15) (5 x + 1)^((3)/(2)) + C

Beleza, achamos então que:

y = (2)/(15) (5 x + 1)^((3)/(2)) + C

Passo 3

Vamos achar o valor desse C aí agora. O enunciado deu pra gente que y (3) = - 2 . Vamos jogar isso ali agora que a gente já mata esse C :

- 2 = (2)/(15) (15 + 1)^((3)/(2)) + C

- 2 = (2)/(15) ( 64 ) + C

C = - (158)/(15)

Nosso resultado então é:

y = (2)/(15) (5 x + 1)^((3)/(2)) - (158)/(15)

Prontinho!

Resposta

y = (2)/(15) (5 x + 1)^((3)/(2)) - (158)/(15)

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a)int c o t g (x) d x = l n | s e n ( x ) | + c
e)int c o t g^n (x) c o s s e c ( x ) d x = - (c o t g^(n + 1) (x))/(n + 1) + c
d)int c o t g^2 (x) d x = - c o t g (x) - x + c
b)int c o s e c (x) d x = - ln |c o s e c (x) + c o t g (x)| + c
c)int c o s e c^2 (x) d x = - c o t g ( x ) + c