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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 1f

f) int (t g^5 (x))/(sec^4 ( x )) d x

Passo 1

I = int (t g^5 (x))/(sec^4 ( x )) d x

Antes de começar a pensar em como resolver a integra, podemos simplificar nossa expressão!

(t g^5 (x))/(sec^4 ( x )) = (s e n^5 (x))/(cos^5 ( x )) * cos^4 (x) = (s e n^5 (x))/(cos (x))

Logo,

I = int (s e n^5 (x))/(cos (x)) d x

Pra facilitar nossa vida vamos chamar o denominador de u , logo:

u = cos (x)

Derivando,

d u = - s e n (x) d x

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Nossa integral era o seguinte:

I = int (s e n^5 (x))/(cos (x)) d x = int (s e n^4 (x))/(cos (x)) s e n (x) d x

Agora vamos expressar esse s e n^4 ( x ) em função de u , isto é, cos (x) !

Da trigonometria, temos:

s e n^2 (x) + cos^2 (x) = 1 -> s e n^2 (x) = 1 - u^2

Mas queremos s e n^4 ( x ) , logo:

s e n^4 (x) = (1 - u^2)^2 = 1 - 2 u^2 + u^4

Indo para variável u :

I = int (s e n^4 (x))/(cos (x)) s e n (x) d x = int (1 - 2 u^2 + u^4)/(u) (- d u) = - int (1 - 2 u^2 + u^4)/(u) d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1 e int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = - int (1 - 2 u^2 + u^4)/(u) d u = - int (d u)/(u) + 2 * int u d u - int u^3 d u

Resolvendo, temos:

I = - ln |u| + 2 * (u^2)/(2) - (u^4)/(4) + c = - ln |u| + u^2 - (u^4)/(4) + c

Voltando para variável c o s ( x )

I = - ln |cos (x)| + cos^2 (x) - (cos^4 (x))/(4) + c

Portanto:

I = - ln |cos (x)| + (1)/(sec^2 (x)) - (1)/(4 * sec^4 ( x )) + c

Resposta

- ln |cos (x)| + (1)/(sec^2 (x)) - (1)/(4 * sec^4 ( x )) + c

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