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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 15

Calcule a integral.

int (cos^5 alpha)/(sqrt(s e n alpha)) d alpha

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Note que aparecem funções seno e cosseno e temos um expoente ímpar no cosseno: isso é sempre bom!!!

Temos que cos^5 alpha = cos^4 alpha cos alpha = (1 - s e n^2 alpha)^2 cos alpha . Desta forma, a integral fica:

int (cos^5 alpha)/(sqrt(s e n alpha)) d alpha = int ((1 - s e n^2 alpha)^2)/(sqrt(s e n alpha)) cos alpha d alpha

Como a derivada do seno é cosseno, a substituição u = s e n alpha vai resolver nosso problema, pois d u = cos alpha d alpha .

Passo 2

Fazendo a substituição, a integral fica:

int (cos^5 alpha)/(sqrt(s e n alpha)) d alpha = int ((1 - u^2)^2)/(sqrt(u)) d u = int (1 - 2 u^2 + u^4)/(u^(1 // 2)) d u = int (u^(- (1)/(2)) - 2 u^((3)/(2)) + u^((7)/(2))) d u

Passo 3

Efetuando a integral:

int (cos^5 alpha)/(sqrt(s e n alpha)) d alpha = (u^((1)/(2)))/((1)/(2)) - 2 (u^((5)/(2)))/((5)/(2)) + (u^((9)/(2)))/((9)/(2)) + C = 2 sqrt(u) - (4)/(5) sqrt(u^5) + (2)/(9) sqrt(u^9) + C

Voltando a variável original:

int (cos^5 alpha)/(sqrt(s e n alpha)) d alpha = 2 sqrt(s e n alpha) - (4)/(5) sqrt(s e n^5 alpha) + (2)/(9) sqrt(s e n^9 alpha) + C

Resposta

2 sqrt(s e n alpha) - (4)/(5) sqrt(s e n^5 alpha) + (2)/(9) sqrt(s e n^9 alpha) + C

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