Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 25
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Bora calcular essa integral aqui:
E a técnica da substituição parece ser uma boa opção...
Sabemos disso, pois temos um fator dentro da raíz que possui e a sua derivada que possui aparece no resto da integral. Isso é importante para que após a substituição tudo esteja escrito em termos da nova variável .
Para a técnica da substituição devemos pegar parte do termo que está sendo integrado e chama-lo de .
Então, devemos encontrar derivando em termos de .
E portanto teremos que:
E dessa forma, substituímos a diferencial de da integral.
Por fim, basta resolver a integral e desfazer a substituição.
Passo 2
Resolvendo usando substituição vemos que temos um dentro da raiz e fora, como a derivada de é , podemos então usar a mudança de variável:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Vamos agora fazer a substuição:
E escrevendo em potência para facilitar a integração teremos:
Agora fica simples de resolver, vamos lá.
Passo 3
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
E não se esqueça da constante de integração por se tratar de uma integral indefinida:
Passo 4
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi :