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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 3

Calcule a integral int t^2 . cos t d t usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = t^2

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u = ( t^2 ) ’ . d t

d v = c o s t d t

d u = 2 t . d t

v = int c o s t d t

v = s e n t

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int t^2 . cos t d t = t^2 . s e n t - int s e n t . 2 t d t

= t^2 . s e n t - 2 int t . s e n t d t

Para continuar desenvolvendo a questão precisamos resolver int t . s e n t d t , e a melhor forma é resolvendo por partes:

w = t

d w = ( t ) ’ . d t

d w = 1 . d t

d z = s e n t d t

z = int s e n t d t

z = - c o s t

int w d z = w . z - int z d w

int t . s e n t d t = t . ( - cos t ) - int ( - cos t ) d t

= - t . cos t - ( - 1 ) int cos t d t

= - t . cos t + s e n t

Agora é só subistituir o resultado pra continuar o desenvolvimento:

int t^2 . cos t d t = t^2 . s e n t - 2 int t . s e n t d t

= t^2 . s e n t - 2 (- t . cos t + s e n t)

= t^2 . s e n t + 2 t . cos t - 2 . s e n t + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

int t^2 . cos t d t = t^2 . s e n t + 2 t . cos t - 2 . s e n t + c

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