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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 5

Calcule a integral int_1^2 x . ln x d x usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Apesar de se tratar de uma integral definida iremos, inicialmente, resolver como se fosse indefinida para facilitar o cálculo e depois aplicar a integral definida.

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = l n x

Pois é o valor mais simples de derivar

d u = ( ln x ) ’ . d x

d u = (1)/(x) . d x

d v = x d x

v = int x d x

v = (x^2)/(2)

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int x . ln x d x = ln x . ( (x^2)/(2) ) - int (x^2)/(2) . (1)/(x) d x

= (x^2)/(2) . ln x - int (x^2)/(x) . (1)/(2) d x

= (x^2)/(2) . ln x - (1)/(2) int x d x

= (x^2)/(2) . ln x - (1)/(2) . (x^2)/(2)

= (x^2)/(2) . ln x - (x^2)/(4)

Passo 4

Como se trata de uma integral definida de 1 até 2, iremos aplicar agora

int_1^2 x . ln x d x = [(x^2)/(2) . ln x - (x^2)/(4)]_1^2

= [(2^2)/(2) . ln 2 - (2^2)/(4)] - [(1^2)/(2) . ln 1 - (1^2)/(4)]

= [2 . ln 2 - 1] - [(1)/(2) . 0 - (1)/(4)]

= [2 . ln 2 - 1] - [- (1)/(4)]

= 2 . ln 2 - 1 + (1)/(4)

= 2 . ln 2 - (3)/(4)

Aplicando a propriedade logaritímica da potência passamos esse 2 na frente do ln para expoente:

= ln 2^2 - (3)/(4)

= ln 4 - (3)/(4)

Resposta

int_1^2 x . ln x d x = ln 4 - (3)/(4)

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1. Calculed ) int x^2 ln x d x
Calculen ) int x^3 e^(x^2) d x
Calculej ) int x e^(2 x) d x
Calculeh ) int x (ln x)^2 d x
Calculeo ) int x^3 cos x^2 d x