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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 6

Calcule a integral int_1^e x^3 . ln x d x usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Apesar de se tratar de uma integral definida iremos, inicialmente, resolver como se fosse indefinida para facilitar o cálculo e depois aplicar a integral definida.

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = l n x

Pois é o valor mais simples de derivar

d u = (ln x) ’ . d x

d u = (1)/(x) . d x

d v = x^3 d x

v = int x^3 d x

v = (x^4)/(4)

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int x^3 . ln x d x = ln x . ( (x^4)/(4) ) - int (x^4)/(4) . (1)/(x) d x

= (x^4)/(4) . ln x - int (x^4)/(x) . (1)/(4) d x

= (x^4)/(4) . ln x - (1)/(4) int x^3 d x

= (x^4)/(4) . ln x - (1)/(4) . (x^4)/(4)

= (x^4)/(4) . ln x - (x^4)/(16)

Passo 4

Como se trata de uma integral definida de 1 até e , iremos aplicar agora

int_1^e x^3 . ln x d x = [(x^4)/(4) . ln x - (x^4)/(16)]_1^e

= [(e^4)/(4) . ln e - (e^4)/(16)] - [(1^4)/(4) . ln 1 - (1^4)/(16)]

= [(e^4)/(4) . 1 - (e^4)/(16)] - [(1)/(4) . 0 - (1)/(16)]

= [(e^4)/(4) - (e^4)/(16)] - [- (1)/(16)]

= (e^4)/(4) - (e^4)/(16) + (1)/(16)

= (e^4)/(4) - (e^4 + 1)/(16)

Fazendo a subtração de frações com demominador diferente, fica:

= (4 e^4 - e^4 + 1)/(16)

= (3 e^4 + 1)/(16)

Resposta

int_1^e x^3 . ln x d x = (3 e^4 + 1)/(16)

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