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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 22

Calcule a integral int e^(- y) . cos y d y usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Passo 2

Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = c o s y

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u = ( cos y ) ’ . d y

d v = e^(- y) d y

d u = - s e n y d y

v = int e^(- y) d y

v = (1)/(- 1) e^(- y)

Observe que para achar o valor de “v” usamos a fórmula: int e^(a x) d x = (1)/(a) . e^(a x)

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int e^(- y) . cos y d y = ( cos y ) . ( - e^(- y) ) - int ( - e^(- y) ) . ( - s e n y ) d y

= - cos y . e^(- y) - int e^(- y) . s e n y d y

Para poder resolver int e^(- y) . s e n y d y utilizamos novamente o método da integração por partes:

w = s e n y

d w = ( s e n y ) ’ d y

d w = c o s y d y

d z = e^(- y) . d y

z = int e^(- y) d y

z = - e^(- y)

int w d z = w . z - int z d w

int e^(- y) . s e n y d y = ( s e n y ) . ( - e^(- y) ) - int - e^(- y) . cos y d y

= - s e n y . e^(- y) + int e^(- y) . cos y d y

Iremos substituir desse modo para facilitar os cálculos:

int e^(- y) . cos y d y = - cos y . e^(- y) - int e^(- y) . s e n y d y

int e^(- y) . cos y d y = - cos y . e^(- y) - (- s e n y . e^(- y) + int e^(- y) . cos y d y)

int e^(- y) . cos y d y = - cos y . e^(- y) + s e n y . e^(- y) - int e^(- y) . cos y d y

int e^(- y) . cos y d y + int e^(- y) . cos y d y = - cos y . e^(- y) + s e n y . e^(- y)

2 . int e^(- y) . cos y d y = e^(- y) ( - cos y + s e n y )

int e^(- y) . cos y d y = (e^(- y) ( - cos y + s e n y ))/(2) + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração).

Resposta

int e^(- y) . cos y d y = (e^(- y) ( - cos y + s e n y ))/(2) + c

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