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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 44

Determine a derivada no Exercício d d t ∫ 0 t x 4 + 3   1 + x 2 d x

a. calculando a integral e derivando o resultado.

b. derivando a integral diretamente.

Passo 1

A questão nos pede que calculemos a derivada de uma integral definida por dois modos:

  1. Primeiro integrando e depois derivando
  2. Derivando direto, para isso é preciso lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo em que d d x ∫ a b f ( x ) ⁡ d x = f b . ( b ) '

Passo 2

Vamos resolver primeiro a letra “a” e resolver primeiro a integral:

∫ 0 t x 4 + 3   1 + x 2 d x = ∫ 0 t x 4 d x + ∫ 0 t 3   1 + x 2 d x

Para resolver a integral de ∫ 0 t 3   1 + x 2 d x vamos reorganizar antes e depois integrar:

∫ 0 t 3   1 + x 2 d x = 3 . ∫ 0 t 1 1 + x 2 d x

= 3 . ∫ 0 t 1 + x 2 - 1 2   d x

= 3 . 1 + x 2 - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

= 3 2 . 1 + x 2 0 t

Substituindo o valor na expressão original:

= x 5 5 0 t - 3 2 . 1 + x 2 0 t

= t 5 5 - 0 5 5 - 3 2 . 1 + t 2   - 2 . 1 + 0 2

= t 5 5 - 0 5 5 - 6 . 1 + t 2   - 1 + 0 2

= t 5 2 5 - 6 1 + t   - 1

Em seguida derivamos usando a regra da cadeia:

d d t t 5 2 5 - d d t 6 1 + t   - 1

= 1 5 . d d t t 2 . t - 6 . d d t 1 + t   - 1

= 1 5 . d d t t 2 . t - 6 . 1 2 . 1 + t

= 5 t . t 5.2 - 3 1 + t

= t . t 2 - 3 1 + t

Passo 3

Agora iremos derivar direto usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

d d t ∫ 0 t x 4 + 3   1 + x 2 d x = ( t ) 4 + 3   1 + ( t ) 2 . t '

= t 2 + 3   1 + t . 1 2 t

= t 2 . 1 2 t + 3   1 + t . 1 2 t

= t 3 2 2 - 3 1 + t

Resposta

d d t ∫ 0 t x 4 + 3   1 + x 2 d x = t 3 2 2 - 3 1 + t

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