77) Se f(x) = x^2 * raiz(x - 3) ache o valor médio de f em [7, 12]

Passo 1

O valor médio (VM) de uma função integrável num intervalo fechado [ a , b ] é dado por:

V M = (int_a^b f (x) d x)/(b - a)

Portanto, o valor médio da função no intervalo [ 7,12 ] é dado por:

V M = (1)/(12 - 7) int_7^(12) x^2 . sqrt(x - 3) d x

Mas, para resolver a integral utilizaremos a técnica da substituição:

u = sqrt(x - 3)

Logo, isolando x:

x = u^2 + 3

Derivando, temos:

d x = 2 u d u

Substituindo e adequando os limites de integração, temos:

V M = (1)/(5) int_2^3 (u^2 + 3)^2 . u . 2 u d u

Desenvolvendo o produto notável, aplicando a distributiva e retirando a constante, chegamos a:

V M = (2)/(5) int_2^3 (u^6 + 6 u^4 + 9 u^2) d u

Integrando:

V M = (42304)/(175)

Resposta

V M = (42304)/(175)

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