77) Se f(x) = x^2 \* raiz(x - 3) ache o valor médio de f em [7,12]

Passo 1

O valor médio (VM) de uma função integrável num intervalo fechado [ a ,   b ] é dado por:

V M = ∫ a b f x d x b - a

Portanto, o valor médio da função no intervalo [ 7,12 ] é dado por:

V M = 1 12 - 7 ∫ 7 12 x 2 . x - 3   d x

Mas, para resolver a integral utilizaremos a técnica da substituição:

u = x - 3

Logo, isolando x:

x = u 2 + 3

Derivando, temos:

d x = 2 u   d u

Substituindo e adequando os limites de integração, temos:

V M = 1 5 ∫ 2 3 u 2 + 3 2 . u . 2 u   d u

Desenvolvendo o produto notável, aplicando a distributiva e retirando a constante, chegamos a:

V M = 2 5 ∫ 2 3 u 6 + 6 u 4 + 9 u 2   d u

Integrando:

V M = 42304 175

Resposta

V M = 42304 175

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