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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 74

Nos exercícios 71 a 74, calcule a derivada.

74) (d)/(d x) int_1^(sec x) sqrt(t^2 - 1) d t 0 < x < (1 pi)/(2)

Passo 1

O exercício solicita que calculemos a seguinte derivada:

(d)/(d x) int_1^(sec x) sqrt(t^2 - 1) d t

Para isso, utilizarmos o 1º Teorema Fundamental do Cálculo:

(d)/(d x) int_a^x f ( t ) d t = f ( x )

Agora, usaremos a regra da cadeia com u = sec x

(d)/(d x) int_1^(sec x) sqrt(t^2 - 1) d t = (d)/(d u) int_1^u sqrt(t^2 - 1) d t . (d)/(d x) ( sec x )

Derivando sec x :

(d)/(d x) int_1^(sec x) sqrt(t^2 - 1) d t = sqrt(u^2 - 1) . sec x . t g x

Substituindo u = sec x

(d)/(d x) int_1^(sec x) sqrt(t^2 - 1) d t = sqrt(s e c^2 x - 1) . sec x . t g x

Mas: s e c^2 x - 1 = t g^2 x

(d)/(d x) int_1^(sec x) sqrt(t^2 - 1) d t = sec x . t g^2 x

Resposta

(d)/(d x) int_1^(sec x) sqrt(t^2 - 1) d t = sec x . t g^2 x

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