79) Um corpo cai do repouso e percorre uma distância de s m antes de atingir o solo. Se a única força agindo sobre ele é a gravidade, o que lhe dá uma aceleração de g m / s^2 em direção ao solo, mostre que o valor médio da velocidade expresso como uma função da distância, é 2 / 3 * raiz(2gs) m/s e que essa velocidade média é dois terços da velocidade final.

Passo 1

Sabemos da Física que:

g = d v d t = d v d x . d x d t = v . d v d t

E então integrando,

1 2 v 2 = g x + C

Agora, vamos avaliar as condições de contorno:

- Quando v = 0   e m   x = 0 ,   temos C = 0 , então: v 2 = 2 g x  

- Quando v > 0   ,também temos: v 2 = 2 g x

- Quando v = v   e m   x = s ,   t a m b é m   temos v 2 = 2 g x

Portanto, o valor médio da função no intervalo [ 0 , s ] é dado por:

V M = 1 s - 0 ∫ 0 s 2 g x   d x

V M = 1 s 2 g ∫ 0 s x 1 2   d x

Integrando e substituindo os limites, temos:

V M = 2 3 2 g s

Como

v = 2 g s

e

V M = 2 3 2 g s

Podemos observar que:

V M = 2 3 v

Resposta

V M = 2 3 2 g s

V M = 2 3 v

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