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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 30

Calcule a integral definida

int_0^1 sqrt(x) sqrt(1 + x sqrt(x)) d x

Passo 1

Vamos lembrar algumas Propriedades de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Essa é uma questão engraçada. Tem tantas raízes eu a gente pode ate se perder. Vamos fazer o seguinte. Primeiro vamos mudar a notação dessas raizes

int_0^1 sqrt(x) sqrt(1 + x sqrt(x)) d x = int_0^1 x^((1)/(2)) (1 + x^((3)/(2)))^(1 // 2) d x

Pronto. Está bem melhor !!!

Passo 3

Já sabe, a equação ficou estranha vamos fazer substituição. Não precisa nem pensar muito. E mantenha o foco de tentar deixar dentro do argumento da raiz apenas um termo. Então é ali que vamos substituir.

u = 1 + x^((3)/(2))

d u = (3)/(2) x^((1)/(2)) d x -> (2)/(3) d u = x^((1)/(2)) d x

assim

int_()^() x^((1)/(2)) (1 + x^((3)/(2)))^((1)/(2)) d x = int (2)/(3) u^(1 // 2) d u

ajustando os limites de integração s e x = 0 , e n t a o u = 1

s e x = 1 , e n t a o u = 2

Então temos : int_1^2 (2)/(3) sqrt(u ) d u

= ((4)/(9) u^(3 // 2)|_(u = 1)^2

= (4)/(9) (2 sqrt(2) - 1)

Resposta

int_0^1 sqrt(x) sqrt(1 + x sqrt(x)) d x = (4)/(9) (2 sqrt(2) - 1)

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