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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.7 - Ex. 29

Use int_b^a f (x) g (x) d x = f (x_0) int_b^a g (x) d x p a r a p r o v a r a d e s i g u a l d e

int_(- 1)^1 (x ²)/(sqrt(x^2 + 4 )) d x <= int_(- 1)^1 x^2 d x

Passo 1

Temos que provar que f (x_0) < 1 . P o r q u e A s s i m f (x_0) int_b^a g (x) d x < int_b^a g (x) d x

Passo 2

Calculando f (x_0)

f (x_0) = (int_b^a f (x) d x)/(( a - b ))

Passo 3

f (x_0) = (int_(- 1)^1 (1)/(sqrt(x^2 + 4 )) d x)/(2)

Sabendo que

int_()^() (1)/(sqrt(x^2 + 1 )) d x = (1)/(s e n h (x))

Logo int_(- 1)^1 (1)/(sqrt(x^2 + 4 )) d x = (1)/(s e n h ((x)/(2)))

Logo temos que a integração fica :

(1)/(s e n h ((1)/(2))) - (1)/(s e n h ((- 1)/(2))) = (2)/(s e n h ((1)/(2))) = 0,9 6

Assim

f (x_0) = (int_(- 1)^1 (1)/(sqrt(x^2 + 4 )) d x)/(2) = (0,96)/(2) = 0,48

Resposta

0,48 int_(- 1)^1 x^2 d x < int_(- 1)^1 x^2 d x

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