Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 44
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Pessoal nessa questão devemos calcular a seguinte integral:
E a técnica da substituição parece ser uma boa opção...
Como temos um fator dentro de uma raíz com mais de um termo, podemos usar a substituição para ficarmos com apenas um termo e facilitar a integração.
Para a técnica da substituição devemos pegar parte do que está sendo integrado e chama-lo de .
Então, devemos encontrar derivando em termos de .
E portanto teremos que:
E dessa forma, substituímos a diferencial de da integral.
Por fim, basta resolver a integral e desfazer a substituição.
Passo 2
Temos que
Essa integral vai exigir de nós um certo malabarismo: sabemos integrar funções potência com facilidadade, então seria muito útil deixa o denominador que é uma raíz escrito como uma potência de alguma variável (a potência pode ser fracionária).
Mas ainda é difícil de resolver essa integral. Devemos tentar escrever o que está dentro do expoente fracionário como apenas um termo.
Vamos fazer isso tomando
Assim,
E portanto,
Mas para substituir , vamos realizar o seguinte malabarismo:
Então,
Elevando ao quadrado, temos:
Que resolvendo o produto notável vira:
Passo 3
Fazendo a mudança de variável, a integral fica
Essa fração pode ser aberta na soma de frações:
Que resulta em:
Efetuando a integral, usando a regra da potência, teremos:
Ajeitando:
Passo 4
Encontramos que:
Agora, basta voltar a variável original usando que: