Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 52
Calcule a integral definida.
Passo 1
Pessoal nessa questão devemos calcular a seguinte integral:
Para resolver a integral, a técnica da substituição parece ser uma boa opção...
Sabemos disso, pois temos um fator que possui e a sua derivada é 1 o que não atrapalha depois.
Além disso, se substituir o que está dentro da raíz por apenas um termo, poderemos escrever a raíz como uma potência e então integrar com mais facilidade.
Para a técnica da substituição devemos pegar parte do termo que está sendo integrado e chama-lo de .
Então, devemos encontrar derivando em termos de .
E portanto teremos que:
E dessa forma, substituímos a diferencial de da integral.
Por fim, basta resolver a integral, desfazer a substituição e então substituir os limites de integração.
Ou então, você pode reescrever os limites de integração na variável , resolver a integral e substituir os limites de integração, sem precisar desfazer a substituição.
Eu vou seguir por esse caminho aqui.
Passo 2
Vamos tentar fazer a substituição usando o termo dentro da raiz:
Assim,
Temos então que
Além disso, quando
e para
Assim, a integral fica
Resolvendo usando a regra da potência temos:
E substituindo os limites, ficamos com:
Assim,