Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 34
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
E aí, tudo certinho 😊? Queremos calcular o valor da integral indefinida
Em um primeiro momento, essa integral não se parece com nenhuma das presentes na Tabela de Integrais Indefinidas, para as quais conhecemos uma fórmula para o seu cálculo, né?
Em particular, lá temos que
mas o nosso integrando é um quociente de e , né?
🤔 Então como resolvemos essa questão?
Utilizando a Regra da Substituição para transformar a integral do enunciado na integral Tabela, que exemplificamos acima.
A Regra da Substituição dis o seguinte: Se definirmos a função derivável como uma variável , ou seja, , e se a função for contínua em seu domínio então vale que
desde que a imagem de esteja contida no domínio de
🤔 Mas como usamos essa Regra nessa questão?
No próximo Passo, vamos escolher as funções e de maneira conveniente, que nos possibilite usar uma das integrais da Tabela.
💡 Vamos relembrar de uma propriedade da integral indefinida que vai nos ajudar a resolver essa questão.
- A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.
Bora resolver essa questão 😉!
Passo 2
Perceba que como
então uma boa escolha para e é dada por
e
pois
e, além disso, derivando em relação à variável , temos que
ou seja,
Logo, substituindo os respectivos valores, vale que
ou seja, temos que a integral do enunciado é dada por
Sendo assim, pela Regra da Substituição podemos reescrevê-la da seguinte forma:
onde
Mas observe que essa integral da direita, em função da variável , nós sabemos calcular né? Temos que
onde é uma constante qualquer.
Logo,
ou seja, temos que
onde é uma constante qualquer.
Passo 3
⚠️ Cuidado que ainda não terminamos! A igualdade
não é a resposta final, né? Pois precisamos reverter a mudança de variável que fizemos ao assumir
Fazendo isso, vamos ter que
Resposta
A integral é dada por:
onde é uma constante qualquer.