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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 13

Calcule a integral definida

int_0^(pi // 2) s e n 2 x d x

Passo 1

Pra resolver essa questão, a gente tem que saber que int s e n x d x = - cos x .

Beleza, mas não é essa a integral. Então vamos fazer uma substituição simples, pra que esse s e n 2 x fique com uma carinha mais amigável tipo s e n u .

Vai ficar assim:

u = 2 x

E como vamos estar integrando em u e não mais em x, vamos ter que substituir d x também. Pra isso vamos derivar u:

d u = 2 d x

(d u)/(2) = d x

Pronto, agora podemos substituir e integrar!

Passo 2

Substituindo:

int (s e n u)/(2) d u = (1)/(2) int s e n u d u

= - (c o s u)/(2)

Vamos substituir u de volta pra x, pra podermos aplicar os limites de integração e calcular a integral:

= (- (c o s 2 x)/(2)|_0^((pi)/(2))

Passo 3

Resolvendo cosseno pros limites, temos que :

- (1)/(2) ( cos pi - cos 0 )

- (1)/(2) ( - 1 - 1 ) = (2)/(2)

= 1

Show! :D

Resposta

int_0^(pi // 2) s e n 2 x d x = 1

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