Calcule a integral definida

∫ 1 2       x 3 + 2 x 2 + x + 2 x + 1 ²   d x  

Passo 1

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Vamos para o macete dessa questão

x 3 + 2 x 2 + x + 2 x + 1 2 =   x 3 + 2 x 2 + x x + 1 2 +   2 x + 1 2

Ate ai não fiz nada de extraordinário só separei as frações em 2 . Mas percebe que O primeiro termo eu posso fatorar x.

=   x x 2 + 2 x + 1 x + 1 2 +   2 x + 1 2

Agora sim nós temos um avanço. Então na verdade nós temos

x +   2 x + 1 2

Prontinho. Aquela equação enorme foi reduzida a uma outra bem simples.

∫ 1 2       x 3 + 2 x 2 + x + 2 x + 1 2   d x = ∫ 1 2   x +   2 x + 1 2   d x

Vamos integrar o primeiro termo já que ele é fácil.

x 2 2 x = 1 2 + ∫ 1 2     2 x + 1 2   d x

Essa até poderíamos fazer direto, mas pra não errarmos nem sinais nem fatores, vamos no passo -a – passo. Então Partiu Substituição!

u = x + 1

d u   = d x

Alterando os limites de integração

Se x= 1 , u = 2

Se x = 2, u = 3

Logo a integral fica

∫ 2 3       2 u 2   d u    

Passo 3

Assim temos :

x 2 2 x = 1 2 -   2 u u   =   2 3

1 2   4 - 1   - 2 1 3 - 1 2

11 6

Resposta

∫ 1 2       x 3 + 2 x 2 + x + 2 x + 1 ²   d x   =   11 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados