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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 31

Calcule a integral definida

int_1^2 (x^3 + 2 x^2 + x + 2)/((x + 1) ²) d x

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Vamos para o macete dessa questão

(x^3 + 2 x^2 + x + 2)/((x + 1)^2) = (x^3 + 2 x^2 + x)/((x + 1)^2) + (2)/((x + 1)^2)

Ate ai não fiz nada de extraordinário só separei as frações em 2 . Mas percebe que O primeiro termo eu posso fatorar x.

= (x (x^2 + 2 x + 1))/((x + 1)^2) + (2)/((x + 1)^2)

Agora sim nós temos um avanço. Então na verdade nós temos

x + (2)/((x + 1)^2)

Prontinho. Aquela equação enorme foi reduzida a uma outra bem simples.

int_1^2 (x^3 + 2 x^2 + x + 2)/((x + 1)^2) d x = int_1^2 x + (2)/((x + 1)^2) d x

Vamos integrar o primeiro termo já que ele é fácil.

((x^2)/(2)|_(x = 1)^2 + int_1^2 (2)/((x + 1)^2) d x

Essa até poderíamos fazer direto, mas pra não errarmos nem sinais nem fatores, vamos no passo -a – passo. Então Partiu Substituição!

u = x + 1

d u = d x

Alterando os limites de integração

Se x= 1 , u = 2

Se x = 2, u = 3

Logo a integral fica

int_2^3 (2)/(u^2) d u

Passo 3

Assim temos :

((x^2)/(2)|_(x = 1)^2 - ((2)/(u)|_(u = 2)^3

(1)/(2) (4 - 1) - 2 ((1)/(3) - (1)/(2))

(11)/(6)

Resposta

int_1^2 (x^3 + 2 x^2 + x + 2)/((x + 1) ²) d x = (11)/(6)

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