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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 12

Calcule a integral definida

int_(- 1)^3 (1)/((y + 2)^3) d y

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Essa é uma integral que se sentir uma pouco de dificuldade pode ate fazer substituição por u = y+2. Mas olha só, temos como fazer direto. Vou bem devagar pra você me acompanhar.

int_(- 1)^3 (1)/((y + 2)^3) d y

= int_(- 1)^3 (y + 2)^(- 3) d y

= - (1)/(2) (y + 2)^(- 2)

Com o passar dos exercícios vamos ganhando mais coragem e fazendo coisas mais ousadas como fazer uma integração pulando alguns passos. É so manter o ritmo e seguir em frente.

Passo 3

Então temos nossa integração, precisamos achar o resultado com os limites dados.

(- (1)/(2) (y + 2)^(- 2)|_(y = - 1)^3

= - (1)/(2) [(3 + 2)^(- 2) - (- 1 + 2)^(- 2)]

= (12)/(25)

Resposta

int_(- 1)^3 (1)/((y + 2)^3) d y = (12)/(25)

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