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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 15

Calcule a integral definida

int_1^2 t ² sqrt(t^3 + 1) d t

Passo 1

Vamos lembrar de algumas Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Estamos começando a ver integrais mais interessantes. Vamos usar tudo o que já treinamos ate agora essa resolução.

Não preciso nem mais falar que não importa qual a vamos integrar, o jeito de integrar é sempre o mesmo , certo? 😉

Então vamos lá. Vamos usar nossa cartada de mestre. Fazer Substituição !

int_1^2 t ² sqrt(t^3 + 1) d t u = t^3 + 1 ,

d u = 3 t^2 d t -> (d u)/(2) = t^2 d t

Agora o Próximo passo é alterar os limites de integração.

u = t^3 + 1

Se t = 1 , u = 2

Se t = 2 , u = 9

Entao

int_1^2 t ² sqrt(t^3 + 1) d t

fica

int_2^9 (sqrt(u))/(3) d u

Passo 3

Viu como sempre funciona usar Substituição? A maior parte das integrais se resolve assim. 😊

int_2^9 (sqrt(u))/(3) d u

((1)/(3) . (2)/(3) u^((3)/(2))|_(u = 2)^9

= (2)/(9) (9^((3)/(2)) - 2^((3)/(2)))

= 6 - (4 sqrt(2))/(9)

Resposta

int_1^2 t ² sqrt(t^3 + 1) d t = 6 - (4 sqrt(2))/(9)

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