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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 11

Calcule a integral definida

int_(- 2)^0 3 w sqrt(4 - w^2) d w

Passo 1

Vamos lembrar de algumas Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Antes de começar precisamos lembrar de 2 coisas. A primeira é Não Importa a variável de integração, o jeito de integrar é Sempre o mesmo. Então já usa o que você já sabe e cai dentro.

A segunda coisa é uma dica. Viu que tem uma equação estranha, pronto já pense logo em como substituir.

Então vamos la !

int_(- 2)^0 3 w sqrt(4 - w^2) d w

u = 4 - w ² ,

d u = - 2 w d w -> - (d u)/(2) = w d w

Vamos agora Alterar os limites de integração.

u = 4 - w ²

Se w = 0 , u = 4

Se w = -2 , u = 0

Entao

int_(- 2)^0 3 w sqrt(4 - w^2) d w

fica

int_0^4 - (3)/(2) sqrt(u) d u

Passo 3

Agora com uma integral fácil podemos calcular

= (- (3)/(2) . (2)/(3) u^((3)/(2))|_0^4

= - (4^((3)/(2)) - 0)

= - 8

Resposta

int_(- 2)^0 3 w sqrt(4 - w^2) d w = - 8

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