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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 63

Calcule a integral

int sqrt(x) e^(sqrt(x)) d x

Passo 1

O enunciado pede pra a gente calcular a seguinte integral:

int sqrt(x) e^(sqrt(x)) d x

Pra facilitar vamos usar a seguinte substituição:

y = sqrt(x)

d y = (1)/(2 sqrt(x)) d x

Temos então:

int sqrt(x) e^(sqrt(x)) d x = int y e^y (2 y) d y

Passo 2

Para resolver essa integral vamos utilizar a integração por partes:

int 2 y^2 e^y d y

u = 2 y^2 -> d u = 4 y d y

d v = e^y d y -> v = e^y

Dessa forma temos:

2 y^2 e^y - int 4 y e^y d y

Temos agora:

u = 4 y -> d u = 4

d v = e^y d y -> v = e^y

Então:

int 4 y e^y d y = 4 y e^y - int 4 e^y d y

Juntando tudo:

int 2 y^2 e^y d y = 2 y^2 e^y - (4 y e^y - int 4 e^y d y)

= 2 y^2 e^y - 4 y e^y + 4 e^y + C

Resposta

int sqrt(x) e^(sqrt(x)) d x = 2 (sqrt(x)^2 - 2 sqrt(x) + 2) e^(sqrt(x)) + C

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