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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 26

Calcule a integral definida

int_(- 2)^1 ( x + 1 ) sqrt(x + 3) d x

Passo 1

Vamos lembrar algumas Propriedades de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Não pare agora, já estamos no embalo. Já fizemos muitas questões, e essa não vai nos parar. Vamos usar nosso velho truque. Método de Substituição

Então vamos la !!!!!

int_(- 2)^1 ( x + 1 ) sqrt(x + 3) d x

u = x + 3

d u = d x

Proximo passo é redefinir os limites de integração

u = x + 3 -> x = u - 3

S e x = - 2 , e n t ã o u = 1

S e x = 1 , e n t ã o u = 4

Entao int_(- 2)^1 (x + 1) sqrt(x + 3) d x

fica

int_1^4 sqrt(u) (u - 3 + 1) d u

int_1^4 u^(3 // 2) - 2 u^(1 // 2) d u

Passo 3

Assim a integração fica : ((2)/(5) u^((5)/(2)) - 2 . (2)/(3) u^(3 // 2)|_(u = 1)^4

(2)/(5) (4^(5 // 2) - 1) - (4)/(3) (4^(3 // 2) - 1)

Resposta

int_(- 2)^1 (x + 1) sqrt(x + 3) d x = (46)/(15)

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