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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 12

Calcule a integral indefinida

int (d u)/(u sqrt(16 u^2 - 9))

Passo 1

Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:

sqrt(x^2 - 1)

sqrt(1 - x^2)

Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas

Vamos pegar o 16 u^2 - 9 e tentar arrumá-lo:

16 u^2 - 9

Primeiro, colocamos o 9 em evidência

16 u^2 - 9 = 9 ((16)/(9) u^2 - 1)

Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a sugstituição

(16 u^2)/(9) = x^2

Que é o mesmo que

(4 u)/(3) = x -> u = (3)/(4) x

Assim:

d u = (3)/(4) d x

Substituindo na integral:

int (d u)/(u sqrt(16 u^2 - 9)) = int ((3)/(4) d x)/((3)/(4) x sqrt(9 (x^2 - 1))) = int (d x)/(x sqrt(9) sqrt(x^2 - 1))

(1)/(3) int (d x)/(x sqrt(x^2 - 1))

Passo 2

Vamos para a integral em x

(1)/(3) int (d x)/(x sqrt(x^2 - 1))

Ela vai ser exatamente a integral da sec^(- 1)

(1)/(3) int (d x)/(x sqrt(x^2 - 1)) = (1)/(3) sec^(- 1) x + C

Voltando para u :

(1)/(3) sec^(- 1) x + C = (1)/(3) sec^(- 1) (4 u)/(3) + C

Resposta

(1)/(3) sec^(- 1) (4 u)/(3) + C

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.
Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 40 para ∫ tan ⁡ x sec n ⁡ x d x ,s en ≠ 0 .