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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 32

Nos Exercícios de 31 a 36, calcule a integral definida.

32 )   ∫ π 8 π 6 2 . sec 4 ⁡ ( 2 t ) . d t

Passo 1

Para começarmos a resolver a integral substituímos:

u = 2 t

d u = 2 . d t

d u 2 = d t

Então os intervalos de integração assumem:

u = 2 t = 2 . π 6 = π 3

u = 2 t = 2.8 = π 4

∫ π 8 π 6 2 . sec 4 ⁡ ( 2 t ) . d t = 2 2 ∫ π 4 π 3 sec 4 ⁡ ( u ) . d u = ∫ π 4 π 3 sec 4 ⁡ ( u ) . d u  

Usando:

t g ²   u + 1 = s e c ²   u

∫ π 4 π 3 sec 4 ⁡ ( u ) . d u = ∫ π 4 π 3 t g ²   u + 1 . sec 2 ⁡ ( u ) . d u = ∫ π 4 π 3 t g ²   u . s e c ²   u . d u + ∫ π 4 π 3 sec 2 ⁡ ( u ) . d u

Para a primeira fazemos uma nova substituição:

z = t g   u

d z = s e c ²   u . d u

∫ π 4 π 3 t g ²   u . s e c ²   u . d u = ∫ π 4 π 3 z ² . d z = z 3 3 = t g 3 u 3 |   π 3 π 4 = 1 3 t g 3 π 3 - t g 3 π 4   = 1 3 3 3 - 1 3 = 1 3 3 3 - 1 = 3 - 1 3

Para a segunda:

∫ π 4 π 3 sec 2 ⁡ ( u ) . d u = t g   u |   π 3 π 4 = t g π 3 - t g π 4 = 3 - 1

Sendo assim:

= 3 - 1 3 + 3 - 1 = 2 3 - 4 3

Resposta

∫ π 8 π 6 2 . sec 4 ⁡ ( 2 t ) . d t = 2 3 - 4 3

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