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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 29

Calcule a integral definida

int_(- 4)^(- 2) (d t)/(sqrt(- t^2 - 6 t - 5))

Passo 1

Para fazer a integral definida primeiro temos que achar a indefinida, e fazer o teorema da variação total depois

int (d t)/(sqrt(- t^2 - 6 t - 5))

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

1 - a^2

Ou

a^2 - 1

Como o termo t^2 está com o - 1 , vamos procurar a primeira forma: 1 - a^2

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

- t^2 - 6 t - 5

Primeiro colocamos o - 1 em evidência

- 5 - (t^2 + 6 t)

Vamos olhar so p t^2 + 6 t , ele deve ficar parecido com a^2 + 2 a b + b^2 .

a^2 + 2 a b + b^2 = (a + b)^2

Comaprando, teremos

a = t

b = 3

Agora, temos que somar e subtrair - b^2 , porque o trinômio está sendo todo multiplicado por - 1 , que achamos da equação original

- 5 - (t^2 + 6 t) = 9 - 5 - (t^2 + 6 t + 9) = 4 - (t + 3)^2

A nossa integral fica:

int (d t)/(sqrt(- t^2 - 6 t - 5)) = int (d x)/(sqrt(4 - (t + 3)^2))

Passo 2

int (d x)/(sqrt(4 - (t + 3)^2))

Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:

sqrt(x^2 - 1)

sqrt(1 - x^2)

Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas

Primeiro, vamos colocar o 4 em evidência dentro da raiz:

4 - (t + 3)^2 = 4 (1 - ((t + 3)^2)/(4))

Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a substituição

((t + 3)^2)/(4) = y^2 -> y = (t + 3)/(2)

Além disso:

d y = (1)/(2) d t -> d t = 2 d y

Substituindo na integral:

int (d x)/(sqrt(4 - (t + 3)^2)) = int (d x)/(sqrt(4 (1 - ((t + 3)^2)/(4)))) = int (2 d y)/(sqrt(4) sqrt((1 - y^2))) = int (2 d y)/(2 sqrt((1 - y^2))) = int (d y)/(sqrt((1 - y^2)))

Essa é integra é sen^(- 1) y , então vamos ter:

int (d y)/(sqrt((1 - y^2))) = sen^(- 1) y + C

Voltando para x

sen^(- 1) y + C = sen^(- 1) ((t + 3)/(2)) + C

Passo 3

Agora que achamos a integral indefinida, vamos para a definida:

int_(- 4)^(- 2) (d t)/(sqrt(- t^2 - 6 t - 5)) = sen^(- 1) ((t + 3)/(2))_(- 4)^(- 2) = (sen^(- 1) ((- 2 + 3)/(2))) - (sen^(- 1) ((- 4 + 3)/(2)))

= sen^(- 1) ((1)/(2)) - sen^(- 1) (- (1)/(2))

O ângulo que tem seno (1)/(2) é (pi)/(6)

O ângulo que tem seno - (1)/(2) é - (pi)/(6)

sen^(- 1) ((1)/(2)) - sen^(- 1) (- (1)/(2)) = (pi)/(6) - (- (pi)/(6)) = (pi)/(6) + (pi)/(6) = (pi)/(3)

Resposta

(pi)/(3)

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