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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 57

Os Exercícios 57-62 requerem o uso de várias identidades trigonométricas antes que seja feito o cálculo das integrais.

57

∫ s e n 2 ѳ ⋅ c o s 3 ѳ   d ѳ

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida usando relações trigonométricas.

Passo 2

A primeira relação que a gente vai usar é

s e n 2 ѳ = 1 - c o s ( 2 ѳ ) 2

Assim nossa integral pode se escrever assim

∫ ( 1 - c o s 2 ѳ ) 2 ⋅ c o s 3 ѳ   d ѳ

Passo 3

Agora a gente distribui c o s 3 ѳ   na integral

∫ 1 2 ⋅ c o s 3 ѳ   d ѳ - ∫ c o s 2 ѳ ⋅ c o s 3 ѳ 2 d ѳ + C

Passo 4

Agora vamos usar

cos ⁡ a cos ⁡ b = cos ⁡ a + b + c o s ⁡ ( a - b ) 2

E ai podemos dizer que

1 2 ∫ c o s 2 ѳ ⋅ c o s 3 ѳ   d ѳ = 1 2 ∫ cos ⁡ 2 ѳ + 3 ѳ + c o s ⁡ ( 2 ѳ - 3 ѳ ) 2 + C

Passo 5

A integral então fica assim

∫ 1 2 ⋅ c o s 3 ѳ   d ѳ - 1 4 ∫ cos ⁡ 5 ѳ d ѳ - 1 4 ∫ cos ⁡ - ѳ d ѳ + C

Nós sabemos, pela simetria do círculo trigonométrico que cos ⁡ - θ = cos ⁡ ( θ ) , logo obtemos as seguintes integrais:

∫ 1 2 ⋅ c o s 3 ѳ   d ѳ - 1 4 ∫ cos ⁡ 5 ѳ d ѳ - 1 4 ∫ cos ⁡ ѳ d ѳ + C

As integrais podem ser calculadas usando o mesmo método.

Primeiro fazemos uma substituição, chamamos o argumento do cosseno de u , depois basta lembrar que a integral de c o s ⁡ ( x ) é s e n ( x ) .

Fica assim

1 6 s e n 3 ѳ - 1 20 s e n 5 ѳ - 1 4 s e n ѳ + C

Resposta

1 6 s e n 3 ѳ - 1 20 s e n 5 ѳ - 1 4 s e n ѳ + C

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Calcula a integral ∫ cos ⁡ π x cos ⁡ 4 π xd x
Calcula a integral ∫t g 2 x sec 4 ⁡ x d x
Calcula a integral ∫ t g 5 x sec 3 ⁡ xd x
Calcula a integral ∫ 0 π 2t g 4 td t
Calcula a integral indefinida, ilustre e verifique se sua resposta é razoável colocando em um gráfico o integrando e a sua primitiva. ∫ s e n 5 x cos 3 ⁡ x d x