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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 30

Calcule a integral indefinda

int_2^5 (d x)/(x^2 - 4 x + 3)

Passo 1

Para fazer a integral definida primeiro temos que achar a indefinida, e fazer o teorema da variação total depois

int (d x)/(x^2 - 4 x + 3)

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

a^2 + 1

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

x^2 - 4 x + 3

Primeiro, vamos olhar so p x^2 - 4 x , ele deve ficar parecido com a^2 - 2 a b + b^2 .

a^2 - 2 a b + b^2 = (a - b)^2

x^2 - 4 x

Comaprando, teremos

a = x

b = 2

Aqui, vamos somar e subtrair b^2 i.

x^2 - 4 x + 3 + 4 - 4

Organizando

x^2 - 4 x + 4 + 1 = (x - 2)^2 + 1

A nossa integral fica:

int (d x)/(x^2 - 4 x + 3) = int (d x)/((x - 2)^2 + 1)

Passo 2

Com aquela integral:

int (d x)/((x - 2)^2 + 1)

Vamos fazer a substituição

(x - 2)^2 = a^2

a = x - 2 -> d a = d x

A nossa integral em a vai ser:

int (d x)/((x - 2)^2 + 1) = int (d x)/(a^2 + 1)

Essa integral em a é a tg^(- 1) a , então teremos:

int (d x)/(a^2 + 1) = tg^(- 1) a + C

Voltando para x :

tg^(- 1) a + C = tg^(- 1) (x - 2) + C

Passo 3

Agora que achamos a integral indefinida, vamos para a definida:

int_2^5 (d x)/(x^2 - 4 x + 3) = tg^(- 1) (x - 2)_2^5 = (tg^(- 1) (5 - 2)) - (tg^(- 1) (2 - 2)) = tg^(- 1) 3 - tg^(- 1) 0

Podemos achar o valor de tg^(- 1) 0

x = tg^(- 1) 0 ⟷ tg x = 0

O ângulo que tem tangente igual a 0 é 0 , então:

x = 0

E nossa integral fica:

int_2^5 (d x)/(x^2 - 4 x + 3) = tg^(- 1) 3

Resposta

int_2^5 (d x)/(x^2 - 4 x + 3) = tg^(- 1) 3

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