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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 84

Calcule a integral definida.

int_(- (pi)/(4))^((pi)/(4)) |tan^5 x| d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Observe que o integrando é par e o intervalo é simétrico. Isso significa que podemos escrever

I = int_(- (pi)/(4))^((pi)/(4)) |tan^5 x| d x = 2 int_0^((pi)/(4)) |tan^5 x| d x

Além disso, no primeiro quadrante, temos que tan x > 0 , de modo que podemos tirar o módulo da integral:

I = 2 int_0^((pi)/(4)) tan^5 x d x

Passo 2

Para calcular essa integral você deve lembrar que

tan^2 x = sec^2 x - 1 e (tan x)^' = sec^2 x

Assim, temos que

tan^5 x = tan^3 x * tan^2 x = tan^3 x ( sec^2 x - 1 )

Portanto,

tan^5 x = tan^3 x sec^2 x - tan^3 x = tan^3 x sec^2 x - tan x ( sec^2 x - 1 )

Logo,

tan^5 x = (tan^3 x - tan x) sec^2 x + tan x

Portanto,

I = 2 int_0^((pi)/(4)) (tan^3 x - tan x) sec^2 x d x + 2 int_0^((pi)/(4)) tan x d x

Passo 3

Para a primeira integral fazemos a substituição t = tan x , com d t = sec^2 x d x . Já na segunda integral, basta você lembrar que a primitiva da tangente é - ln cos x . Assim

I = 2 int_0^1 (t^3 - t) d t - 2 (ln cos x)_0^((pi)/(4))

Portanto,

I = 2 ((t^4)/(4) - (t^2)/(2))_0^1 - 2 ln ((cos (pi)/(4))/(cos 0))

Desta forma,

I = 2 ((1)/(4) - (1)/(2)) - 2 ln ((1)/(sqrt(2)))

Mas sabemos que

2 ln ((1)/(sqrt(2))) = ln ((1)/(sqrt(2)))^2 = ln (1)/(2) = - ln 2

Assim,

I = - (1)/(2) + ln 2

Resposta

- (1)/(2) + ln 2

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