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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 21

Calcule a integral definida.

int_1^4 ((4 + 5 x^2) d x)/(x^3 + 4 x)

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Antes, vamos decompor mais o denominador. Podemos fatorar x^3 + 4 x em x ( x^2 + 4 ) . Agora podemos tentar abrir a fração:

(4 + 5 x^2)/(x (x^2 + 4)) = (A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + 4)

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A , B e C .

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

(A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + 4) = (A (x^2 + 4) + (B x + C) x)/(x (x^2 + 4)) = (A x^2 + 4 A + B x^2 + C x)/(x (x^2 + 4))

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

((A + B) x^2 + C x + 4 A)/(x (x^2 + 4)) = (5 x^2 + 4)/(x (x^2 + 4))

Cada valor que está multiplicado por uma potência de w deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 3 equações:

  1. A + B = 5
  2. C = 0
  3. 4 A = 4

De (3) tiramos imediatamente que A = 1 e depois, de (1) obtemos B = 4 . Então:

(5 x^2 + 4)/(x (x^2 + 4)) = (1)/(x) + (4 x)/(x^2 + 4)

Passo 4

Agora podemos integrar:

int_1^4 ((4 + 5 x^2) d x)/(x^3 + 4 x) = int_1^4 (1)/(x) d x + 2 int_1^4 (2 d x)/(x^2 + 4) = (ln x|_1^4 + (2 ln ( x^2 + 4 )|_1^4 = ln 4 - ln 1 + 2 ln 20 - 2 ln 5 = 6 ln 2

Resposta

6 ln 2

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