Calcule a integral definida.

∫ 1 4 4 + 5 x 2 d x x 3 + 4 x

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Antes, vamos decompor mais o denominador. Podemos fatorar x 3 + 4 x em x ( x 2 + 4 ) . Agora podemos tentar abrir a fração:

4 + 5 x 2 x x 2 + 4 = A x + B x + C x 2 + 4

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A ,   B e C .

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

A x + B x + C x 2 + 4 = A x 2 + 4 + B x + C x x x 2 + 4 = A x 2 + 4 A + B x 2 + C x x x 2 + 4

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

A + B x 2 + C x + 4 A x x 2 + 4 = 5 x 2 + 4 x x 2 + 4    

Cada valor que está multiplicado por uma potência de w deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 3 equações:

  1. A + B = 5
  2. C = 0
  3. 4 A = 4

De (3) tiramos imediatamente que A = 1 e depois, de (1) obtemos B = 4 . Então:

5 x 2 + 4 x x 2 + 4 = 1 x + 4 x x 2 + 4

Passo 4

Agora podemos integrar:

∫ 1 4 4 + 5 x 2 d x x 3 + 4 x = ∫ 1 4 1 x d x + 2 ∫ 1 4 2 d x x 2 + 4 = ln ⁡ x 1 4 + 2 ln ⁡ ( x 2 + 4 ) 1 4 = ln ⁡ 4 - ln ⁡ 1 + 2 ln ⁡ 20 - 2 ln ⁡ 5 = 6 ln ⁡ 2

Resposta

6 ln ⁡ 2

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