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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 16

Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.

15 .     f t = s e n t   t g ( t )

Passo 1

Usaremos a regra do produto para encontrar a derivada da função.

Regra do produto:

f t ⋅ g t '   = f t   ' ⋅ g t + g t ' ⋅ f t

Passo 2

Derivando:

f ' t = s e n t ' ⋅ ( t g t ) + t g t ' ⋅ s e n t

Passo 3

Pela trigonometria sabemos que:

t g t = s e n t cos ⁡ t

c o s 2 t + s e n 2 t = 1

s e c t = 1 c o s t

Então a derivada de t g ⁡ ( t ) :

s e n t cos ⁡ t ' = s e n t ' ⋅ cos ⁡ t - s e n t ⋅ ( c o s t ) ' c o s ² t

                                          = c o s 2 t + s e n ² t c o s ² t

                                          = 1 c o s ² t = s e c ² t

Passo 4

Agora que achamos o que falta podemos voltar para nossa derivada inicial substituindo o que encontramos para conseguir o nosso resultado.

f ' t = s e n t ' ⋅ ( t g t ) + t g t ' ⋅ s e n t

                      = c o s t ⋅ t g t + s e c ² t ⋅ s e n t

                      = c o s t ⋅ s e n t cos ⁡ t + s e c ² t ⋅ s e n t

                      = s e n t + s e c ² t ⋅ s e n t

Resposta

f ' t = s e n ( t ) + s e c 2 t   s e n ( t )

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