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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 24

Calcule a integral definida.

int_0^1 (9 d x)/(8 x^3 + 1)

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Antes, vamos fatorar o denominador. Podemos fatorar pela fórmula da soma de cubos, a^3 + b^3 = ( a + b ) ( a^2 - a b + b^2 ) :

8 x^3 + 1 = (2 x)^3 + 1^3 = ( 2 x + 1 ) ( 4 x^2 - 2 x + 1 )

Agora podemos tentar abrir a fração:

(9)/(( 2 x + 1 ) ( 4 x^2 - 2 x + 1 )) = (A)/(2 x + 1) + (B x + C)/(4 x^2 - 2 x + 1)

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A , B e C.

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

(A)/(2 x + 1) + (B x + C)/(4 x^2 - 2 x + 1) = (A (4 x^2 - 2 x + 1) + (B x + C) (2 x + 1))/((2 x + 1) (4 x^2 - 2 x + 1))

= (A (4 x^2 - 2 x + 1) + B (2 x^2 + x) + C ( 2 x + 1 ))/((2 x + 1) (4 x^2 - 2 x + 1))

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

((4 A + 2 B) x^2 + (- 2 A + B + 2 C) x + ( A + C ))/(( 2 x + 1 ) ( 4 x^2 - 2 x + 1 )) = (9)/(( 2 x + 1 ) ( 4 x^2 - 2 x + 1 ))

Cada valor que está multiplicado por uma potência de x deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 3 equações:

  1. 4 A + 2 B = 0
  2. - 2 A + B + 2 C = 0
  3. A + C = 9

De (1) tiramos que B = - 2 A e de (3) que C = 9 - A . Substituindo então em (2): - 2 A - 2 A + 18 - 2 A = 0 => - 6 A = - 18 => A = 3 . Então B = - 6 e C = 6 . Temos então nossa expressão dividida em frações parciais:

(9)/(( 2 x + 1 ) ( 4 x^2 - 2 x + 1 )) = (3)/(2 x + 1) + (- 6 x + 6)/(4 x^2 - 2 x + 1)

Passo 4

Agora podemos integrar:

int (9 d x)/(8 x^3 + 1) = int (3 d x)/(2 x + 1) - 6 int (( x - 1 ) d x)/(4 x^2 - 2 x + 1)

A primeira integral calculamos facilmente:

int (3 d x)/(2 x + 1) = (3)/(2) int (d x)/(x + (1)/(2)) = (3)/(2) ln (x + (1)/(2)) + C

Para a segunda, devemos tentar colocar (4 x^2 - 2 x + 1)^' = 8 x - 2 no numerador, para conseguirmos integrar facilmente com l n . Então fazemos assim:

- 6 int ((x - 1) d x)/(4 x^2 - 2 x + 1) = - (6)/(8) int ((8 x - 8) d x)/(4 x^2 - 2 x + 1) = - (3)/(4) int (((8 x - 2) - 6) d x)/(4 x^2 - 2 x + 1)

= - (3)/(4) int ((8 x - 2) d x)/(4 x^2 - 2 x + 1) + (18)/(4) int (d x)/(4 x^2 - 2 x + 1) = - (3)/(4) ln (4 x^2 - 2 x + 1) + (9)/(4) int (d x)/(x^2 - (x)/(2) + (1)/(4))

Vamos completar o quadrado na integral restante:

(9)/(4) int (d x)/(x^2 - (x)/(2) + (1)/(4)) = (9)/(4) int (d x)/((x - (1)/(4))^2 + ((sqrt(3))/(4))^2) = (9)/(4) * (4)/(sqrt(3)) arctan ((x - (1)/(2))/((sqrt(3))/(4))) + C

= 3 sqrt(3) arctan ((4)/(sqrt(3)) (x - (1)/(2))) + C

Passo 5

Agora vamos para a integral definida:

int_0^1 (9 d x)/(8 x^3 + 1) = ((3)/(2) ln (x + (1)/(2))|_0^1 - (3)/(4) (ln (4 x^2 - 2 x + 1)|_0^1 + (3 sqrt(3) arctan ((4)/(sqrt(3)) (x - (1)/(2)))|_0^1

= (3)/(2) ln (3)/(2) - (3)/(2) ln (1)/(2) - (3)/(4) ln 3 + (3)/(4) ln 1 + 3 sqrt(3) arctan ((2)/(sqrt(3))) - 3 sqrt(3) arctan (- (2)/(sqrt(3)))

(3)/(4) ln 3 + 3 sqrt(3) arctan ((2)/(sqrt(3))) - 3 sqrt(3) arctan (- (2)/(sqrt(3)))

Resposta

(3)/(4) ln 3 + 3 sqrt(3) arctan ((2)/(sqrt(3))) - 3 sqrt(3) arctan (- (2)/(sqrt(3)))

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