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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 32

Calcule a integral definida.

int_0^1 x arcsen x d x

Passo 1

Devemos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Vamos escolher u = arcsen x e x d x = d v . Isso nos dá:

d u = (d x)/(sqrt(1 - x^2)) ; v = (x^2)/(2)

A fórmula da integração por partes é a seguinte:

int u d v = u v - int v d u

Então:

int x arcsen x d x = (x^2)/(2) arcsen x - int (x^2)/(2 sqrt(1 - x^2)) d x

Passo 2

Para resolver a última integral, podemos usar uma substituição x = sen^2 u .

int (x^2)/(2 sqrt(1 - x^2)) d x = int (sen^2 u)/(2 sqrt(1 - sen^2 u)) d ( sen^2 u ) = int (sen^2 u)/(2 sqrt(cos^2 u)) cos u d u = int (1)/(2) sen^2 u d u

Aqui, sabemos que uma identidade trigonométrica importantíssima é cos 2 u = 1 - 2 sen^2 u , o que nos diz que sen^2 u = (1)/(2) - (1)/(2) cos 2 u . Então:

int (1)/(2) sen^2 u d u = int ((1)/(4) - (1)/(4) cos 2 u) d u = (u)/(4) - (1)/(8) sen 2 u + C = (u)/(4) - (1)/(4) sen u cos u + C

Agora precisamos voltar a representar o resultado em termos de x . Como x = sen u , então u = arcsen x e cos u = sqrt(1 - x^2) e o resultado é então:

int (x^2)/(2 sqrt(1 - x^2)) d x = (arcsen x)/(4) - (x sqrt(1 - x^2))/(4) + C

Passo 3

Nossa integral indefinida fica então:

int x arcsen x d x = (x^2)/(2) arcsen x - (arcsen x)/(4) + (x sqrt(1 - x^2))/(4) + C

Então, integrando de 0 a 1 :

int_0^1 x arcsen x d x = ((1)/(2) arcsen 1 - (1)/(4) arcsen 1 - 0) - 0 = (1)/(4) arcsen 1 = (1)/(4) * (pi)/(2) = (3 pi)/(4)

Resposta

int_0^1 x arcsen x d x = (3 pi)/(4)

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