Calcule a integral definida.

∫ 0 1 x arcsen ⁡ x d x

Passo 1

Devemos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Vamos escolher u = arcsen ⁡ x e x d x = d v . Isso nos dá:

d u = d x 1 - x 2 ; v = x 2 2

A fórmula da integração por partes é a seguinte:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Então:

∫ x arcsen ⁡ x   d x = x 2 2 arcsen ⁡ x - ∫ x 2 2 1 - x 2 d x

Passo 2

Para resolver a última integral, podemos usar uma substituição x = sen 2 ⁡ u .

∫ x 2 2 1 - x 2 d x = ∫ sen 2 ⁡ u 2 1 - sen 2 ⁡ u d ( sen 2 ⁡ u ) = ∫ sen 2 ⁡ u 2 cos 2 ⁡ u cos ⁡ u d u = ∫ 1 2 sen 2 ⁡ u d u

Aqui, sabemos que uma identidade trigonométrica importantíssima é cos ⁡ 2 u = 1 - 2 sen 2 ⁡ u , o que nos diz que sen 2 ⁡ u = 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 u . Então:

∫ 1 2 sen 2 ⁡ u d u = ∫ 1 4 - 1 4 cos ⁡ 2 u d u = u 4 - 1 8 sen ⁡ 2 u + C = u 4 - 1 4 sen ⁡ u cos ⁡ u + C

Agora precisamos voltar a representar o resultado em termos de x . Como x = sen ⁡ u , então u = arcsen ⁡ x e cos ⁡ u = 1 - x 2 e o resultado é então:

∫ x 2 2 1 - x 2 d x = arcsen ⁡ x 4 - x 1 - x 2 4 + C

Passo 3

Nossa integral indefinida fica então:

∫ x arcsen ⁡ x   d x = x 2 2 arcsen ⁡ x - arcsen ⁡ x 4 + x 1 - x 2 4 + C

Então, integrando de 0 a 1 :

∫ 0 1 x arcsen ⁡ x d x = 1 2 arcsen ⁡ 1 - 1 4 arcsen ⁡ 1 - 0 - 0 = 1 4 arcsen ⁡ 1 = 1 4 ⋅ π 2 = 3 π 4

Resposta

∫ 0 1 x arcsen ⁡ x d x = 3 π 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados