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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 15

Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro

∫ 3 x 2 + 4 x + 4   x 3 + x d x

Passo 1

Inicialmente, perceba que o grau do polinômio de baixo é maior que o de cima. Além disso, podemos reescrever o polinômio do denominador em função de suas raízes

Sendo assim,

∫ 3 x 2 + 4 x + 4   x 3 + x d x = ∫ 3 x 2 + 4 x + 4 x ( x 2 + 1 ) d x

Cujas raízes do denominador são x = 0 e x = ± 1 .

Passo 2

Perceba que temos um fator irredutível no denominador, dessa forma teremos que

3 x 2 + 4 x + 4 x ( x 2 + 1 ) = A x + B x + C x 2 + 1

Realizando o MMC entre as frações teremos,

3 x 2 + 4 x + 4 x ( x 2 + 1 ) = A x 2 + 1 + B x 2 + C x x ( x 2 + 1 )

Como os denominadores são iguais então precisaremos apenas manipular os numeradores, ou seja,

3 x 2 + 4 x + 4 = A x 2 + 1 + B x 2 + C x

3 x 2 + 4 x + 4 = A + B x 2 + C x + A

Utilizando igualdade de polinômios teremos :

A + B = 3 C = 4 A = 4 ⇒ B = 3 - 4 = - 1

Logo,

3 x 2 + 4 x + 4 x ( x 2 + 1 ) = A x + B x + C x 2 + 1

3 x 2 + 4 x + 4 x ( x 2 + 1 ) = 4 x + - 1 x + 4 x 2 + 1

3 x 2 + 4 x + 4 x ( x 2 + 1 ) = 4 x + 4 - x x 2 + 1

Passo 3

Precisamos agora, calcular a integral

∫ 4 x + 4 - x x 2 + 1 d x

Utilizando a propriedade da soma

= ∫ 4 x d x + ∫ 4 - x x 2 + 1 d x

Usando a propriedade da retirada da constante

= 4 ∫ 1 x d x + 4 ∫ 1 x 2 + 1 d x - ∫ x x 2 + 1 d x

Utilizando o método de substituição na terceira integral teremos

= 4 ln ⁡ x + 4 t g - 1 x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1

Portanto,

∫ 3 x 2 + 4 x + 4   x 3 + x d x = 4 ln ⁡ x + 4 t g - 1 x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C

Todas as integrais que calculamos foram indefinidas, sendo assim em cada uma delas era necessário um constante, porém, para economia de notação preferimos acrescentar uma única constante C , ao final. Já que ela corresponderá a soma de todas as constantes não acrescentadas até o momento.

Resposta

∫ 3 x 2 + 4 x + 4   x 3 + x d x = 4 ln ⁡ x + 4 t g - 1 x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C

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