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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 26

Calcule a integral definida.

int_0^(1 // 2) (( x + 1 ) d x)/(x^3 - 1)

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Primeiro devemos farotar o denominador. Usamos a fórmula de fatoração da diferença de cubos: a^3 - b^3 = ( a - b ) ( a^2 + a b + b^2 ) . Então:

x^3 - 1 = x^3 - 1^3 = ( x - 1 ) ( x^2 + x + 1 )

Agora, vamos tentar abrir nossa fração dessa forma:

(x + 1)/((x - 1) (x^2 + x + 1)) = (A)/(x - 1) + (B x + C)/(x^2 + x + 1)

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A , B e C .

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

(A)/(x - 1) + (B x + C)/(x^2 + x + 1) = (A (x^2 + x + 1) + (B x + C) (x - 1))/((x - 1) (x^2 + x + 1))

= (A (x^2 + x + 1) + B (x^2 - 1) + C ( x - 1 ))/((x - 1) (x^2 + x + 1))

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

((A + B) x^2 + (A + C) x + ( A - B - C ))/((x - 1) (x^2 + x + 1)) = (x + 1)/((x - 1) (x^2 + x + 1))

Cada valor que está multiplicado por uma potência de x deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 3 equações:

  1. A + B = 0
  2. A + C = 1
  3. A - B - C = 1

De (1) tiramos que B = - A e de (2) que C = 1 - A . De (4), obtemos então A - (- A) - (1 - A) = 1 => 3 A = 2 => A = (2)/(3) . Então B = - (2)/(3) e C = (1)/(3) . Temos então nossa expressão dividida em frações parciais:

(x + 1)/((x - 1) (x^2 + x + 1)) = (2)/(3 ( x - 1 )) + (- 2 x + 1)/(3 ( x^2 + x + 1 ))

Passo 4

Agora podemos integrar:

int ((x + 1) d x)/((x - 1) (x^2 + x + 1)) = (2)/(3) int (d x)/(( x - 1 )) - (1)/(3) int (( 2 x - 1 ) d x)/(x^2 + x + 1)

A primeira integral calculamos facilmente:

(2)/(3) int (d x)/(( x - 1 )) = (2)/(3) ln |x - 1| + C

Para a segunda, devemos tentar colocar (x^2 + x + 1)^' = 2 x + 1 no numerador, para conseguirmos integrar facilmente. Então fazemos assim:

- (1)/(3) int ((2 x - 1) d x)/(x^2 + x + 1) = - (1)/(3) int (((2 x + 1) - 2) d x)/(x^2 + x + 1) = - (1)/(3) int ((2 x + 1) d x)/(x^2 + x + 1) + (2)/(3) int (d x)/(x^2 + x + 1)

= - (1)/(3) int (d (x^2 + x + 1))/(x^2 + x + 1) + (2)/(3) int (d x)/((x + (1)/(2))^2 + ((sqrt(3))/(2))^2)

= - (1)/(3) ln (x^2 + x + 1) + (2)/(3) * (2)/(sqrt(3)) arctan ((2)/(sqrt(3)) (x + (1)/(2))) + C

- (1)/(3) ln (x^2 + x + 1) + (4)/(3 sqrt(3)) arctan ((2 x)/(sqrt(3)) + (1)/(sqrt(3))) + C

Passo 5

Agora vamos para a integral definida:

int_0^(1 // 2) (( x + 1 ) d x)/(x^3 - 1) = ((2)/(3) ln | x - 1 ||_0^(1 // 2) (- (1)/(3) ln (x^2 + x + 1)|_0^(1 // 2) + ((4)/(3 sqrt(3)) arctan ((2 x)/(sqrt(3)) + (1)/(sqrt(3)))|_0^(1 // 2)

= (2)/(3) ln (1)/(2) - (2)/(3) ln 1 - (1)/(3) ln (7)/(4) + (1)/(3) ln 1 + (4)/(3 sqrt(3)) arctan ((2)/(sqrt(3))) - (4)/(3 sqrt(3)) arctan ((1)/(sqrt(3)))

= (1)/(3) ln 7 + (4)/(3 sqrt(3)) arctan ((2)/(sqrt(3))) - (4)/(3 sqrt(3)) arctan ((1)/(sqrt(3)))

Resposta

(1)/(3) ln 7 + (4)/(3 sqrt(3)) arctan ((2)/(sqrt(3))) - (4)/(3 sqrt(3)) arctan ((1)/(sqrt(3)))

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