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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 10b

10. Calcule

b ) int (x^3)/(16 + x^4) d x

Passo 1

Sese derivarmos o termo que está dentro dos parênteses no denominador, teremos algo parecido com o numerador. Então,

u = 16 + x^4 => d u = 4 x^3 d x => x^3 d x = (d u)/(4)

Substituindo,

int (x^3)/(16 + x^4) d x = int (1)/(u) (d u)/(4) = (1)/(4) int (1)/(u) d u

Lembrando que int (1)/(x) d x = l n |x| + k

(1)/(4) int (1)/(u) d u = (1)/(4) ln |u| + k = (1)/(4) ln |16 + x^4| + k

Como 16 + x^4 >= 0 , podemos tirar o módulo

(1)/(4) ln |16 + x^4| + k = (1)/(4) ln (16 + x^4) + k

Resposta

Logo,

int (x^3)/(16 + x^4) d x = (1)/(4) ln (16 + x^4) + k

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