A substituição trigonométrica x = a * sen(θ) , - π/2 ≤ θ ≤ π/2 , é recomendada para uma integral cujo integrando envolva raiz(a^2 - x^2) . Discuta as implicações de restringir theta a π / 2 ≤ θ ≤ (3π) / 2 e explique por que devemos preferir a restrição - π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 .

Passo 1

Podemos usar a substituição trigonométrica x = a s en ⁡ θ para integrais envolvendo a 2 - x 2 com uma certa restrição para θ , vamos achar essa restrição.

Depois de utilizar essa substituição a expressão fica da seguinte forma:

a 2 - x 2 = a 2 - a 2 sen 2 ⁡ θ = a 2 1 - sen 2 ⁡ θ = a 1 - sen 2 ⁡ θ = a cos 2 ⁡ θ = acos ⁡ θ

Passo 2

Agora nós temos que achar a restrição de θ :

Se usássemos π 2 ≤ θ ≤ 3 π 2 iriamos obter valores de a cos ⁡ θ negativos.

Mas preferimos conseguir sempre raízes positivas, assim devemos usar a restrição - π 2 ≤ θ ≤ π 2 para obtermos valores de a cos ⁡ θ positivos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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