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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 53

A substituição trigonométrica x = a sen ⁡ θ , - π 2 ≤ θ ≤ π 2 , é recomendada para uma integral cujo integrando envolva a 2 - x 2 . Discuta as implicações de restringir θ a π 2 ≤ θ ≤ 3 π 2 e explique por que devemos preferir a restrição - π 2 ≤ θ ≤ π 2 .

Passo 1

Podemos usar a substituição trigonométrica x = a s en ⁡ θ para integrais envolvendo a 2 - x 2 com uma certa restrição para θ , vamos achar essa restrição.

Depois de utilizar essa substituição a expressão fica da seguinte forma:

a 2 - x 2 = a 2 - a 2 sen 2 ⁡ θ = a 2 1 - sen 2 ⁡ θ = a 1 - sen 2 ⁡ θ = a cos 2 ⁡ θ = acos ⁡ θ

Passo 2

Agora nós temos que achar a restrição de θ :

Se usássemos π 2 ≤ θ ≤ 3 π 2 iriamos obter valores de a cos ⁡ θ negativos.

Mas preferimos conseguir sempre raízes positivas, assim devemos usar a restrição - π 2 ≤ θ ≤ π 2 para obtermos valores de a cos ⁡ θ positivos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule a integral indefinida: ∫ x 2 - 4 d x
Verifique se a integral imprópria converge. Em caso positivo, determine seu valor. ∫ 3 + ∞ d x x 2 - 4
Calcule a integral indefinida: ∫ 6 x + 5 9 x 2 + 1d x