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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 22

Calcule a integral efetuando uma substituição trigonométrica apropriada.

∫ d x x 2 16 - x 2

Passo 1

Como no denominador a gente tem algo parecido com a 2 - x 2 , com a = 4 , vamos usar a substituição:

x = a   s e n   θ = 4   s e n   θ

d x d θ = 4 cos ⁡ θ ∴ d x = 4 cos ⁡ θ   d θ

A integral fica assim:

∫ 1 16   s e n 2 θ 16 - 16   s e n 2 θ 4 cos ⁡ θ d θ = ∫ 1 16 1 - s e n 2 θ ⋅ cos ⁡ θ 4   s e n 2 θ   d θ

Sabendo que:

cos 2 ⁡ θ = 1 - s e n 2 θ

Podemos reescrever a integral assim:

∫ cos ⁡ θ 16   s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 16   s e n 2 θ d θ = ∫ c o s s e c 2 θ 16 d θ

Passo 2

Agora a gente calcula essa integral. Vamos lembrar que:

c o t g   θ ' = - c o s s e c 2 θ

Logo:

∫ c o s s e c 2 θ 16 d θ = - c o t g   θ 16

Passo 3

Mas a nossa integral estava em função de x . Então a gente tem que voltar para essa variável. Usamos a substituição:

x = 4   s e n θ ∴ x 4 = s e n   θ ∴ θ = a r c s e n   x 4

Desenhando o triângulo retângulo com essa característica, e usando Pitágoras para achar o lado que falta:

Daí a gente pode tirar que:

c o t g   θ = 1 t g   θ = 16 - x 2 x

Substituindo esses valores na nossa resposta:

∫ d x x 2 16 - x 2 = - c o t g   θ 16 = - 16 - x 2 16 x + C

E lembrando que precisamos colocar a constante de integração, já que a integral é indefinida.

Resposta

- 16 - x 2 16 x + C

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