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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 27

Calcule a integral definida:

int_(sqrt(3))^(3 sqrt(3)) (d x)/(x^2 sqrt(x^2 + 9))

Passo 1

Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? A primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos x^2 + 9 = x^2 + 3^2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 3 tan theta .

Passo 2

Façamos então a substituição:

[[x,=,3,tan theta],[d,x,=,3,sec^2 theta,d,theta]]

Dessa forma, x^2 = 9 tan^2 theta -> x^2 + 9 = 9 tan^2 theta + 9 = 9 overset(sec^2 theta)(obrace (tan^2 theta + 1)) = 3^2 sec^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

int (d x)/(x^2 sqrt(x^2 + 9)) = int (3 sec^2 theta d theta)/(9 tan^2 theta sqrt(3^2 sec^2 theta)) = (1)/(9) int (sec^2 theta d theta)/(tan^2 theta sec theta) = (1)/(9) int (sec theta d theta)/(tan^2 theta)

= (1)/(9) int ((1)/(cos theta))/((sen^2 theta)/(cos^2 theta)) d theta = (1)/(9) int (cos theta)/(sen^2 theta) d theta

Aqui nós vamos usar uma outra substituição sen theta = u -> cos theta d theta = d u .

(1)/(9) int (cos theta)/(sen^2 theta) d theta = (1)/(9) int (d u)/(u^2) = (1)/(9) int u^(- 2) d u = - (1)/(9) u^(- 1) + C = - (1)/(9 u) + C = - (1)/(9 sen theta) + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = 3 tan theta , então:

int (d x)/(x sqrt(x^2 + 9)) = - (1)/(9 sen theta) + C

Para achar sen theta nós olhamos o triângulo da substituição tangente construído no início e utilizamos relações trigonométricas. Temos então:

sen theta = (x)/(sqrt(x^2 + a^2)) = (x)/(sqrt(x^2 + 9))

Dessa forma, o resultado da integral será:

int (d x)/(x sqrt(x^2 + 9)) = - (1)/(9 sen theta) + C = - (1)/(9 (x)/(sqrt(x^2 + 9))) + C = - (sqrt(x^2 + 9))/(9 x) + C

Passo 5

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_(sqrt(3))^(3 sqrt(3)) (d x)/(x^2 sqrt(x^2 + 9)) (= - (sqrt(x^2 + 9))/(9 x)|_(sqrt(3))^(3 sqrt(3)) = - (sqrt((3 sqrt(3))^2 + 9))/(9 * 3 sqrt(3)) - (- (sqrt(3 + 9))/(9 sqrt(3)))

= - (sqrt(27 + 9))/(9 * 3 sqrt(3)) + (sqrt(12))/(9 sqrt(3)) = - (sqrt(36))/(9 * 3 sqrt(3)) + (2 sqrt(3))/(9 sqrt(3)) = - (6)/(9 * 3 sqrt(3)) + (2 sqrt(3))/(9 sqrt(3))

= (2 sqrt(3) - 2)/(9 sqrt(3)) = (2 (sqrt(3) - 1))/(9 sqrt(3)) = (2 sqrt(3) (sqrt(3) - 1))/(9 * 3) = (2 (3 - sqrt(3)))/(27) = - (2 (sqrt(3) - 3))/(27)

E esse é o resultado procurado.

Resposta

int_(sqrt(3))^(3 sqrt(3)) (d x)/(x^2 sqrt(x^2 + 9)) = - (2 (sqrt(3) - 3))/(27)

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