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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 31B

(b) Use a substituição hiperbólica x = sinh ⁡ t para mostrar que

∫ d x x 2 + a 2 = sinh - 1 ⁡ x a + C

Passo 1

Bom, pra começar, vamos fazer a seguinte substituição, vamos dizer que

x = a sinh ⁡ θ

Diferenciando, temos que

d x = a cosh ⁡ θ d θ

Vamos simplificar a expressão que temos no denominador, pra isso, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: 1 + s inh  2 ⁡ θ = cosh 2 ⁡ θ

x 2 + a 2 = a 2 sinh 2 ⁡ θ + a 2 = a 2 sinh 2 ⁡ θ + 1 = a 2 cosh 2 ⁡ θ = a cosh ⁡ θ

Então, vamos substituir isso na nossa integral, daí ficamos com

∫ d x x 2 + a 2 = ∫ a cosh ⁡ θ a cosh ⁡ θ d θ = θ + C

Lá no início, dissemos que

x = a sinh ⁡ θ

x a = sinh ⁡ θ

Então

θ = sinh - 1 ⁡ x a

Substituindo, ficamos com

θ + C = sinh - 1 ⁡ x a + C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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