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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 16

Calcule a integral.

int (1)/(1 + 2 x^2 + x^4) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int (1)/(1 + 2 x^2 + x^4) d x

= int (1)/((x^2 + 1)^2) d x

Vamos chamar:

x = tan theta

d x = sec^2 theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

int (sec^2 theta)/((tan^2 theta + 1)^2) d theta

Usamos então a indentidade trigonométrica, aí fica assim:

int (sec^2 theta)/((sec^2 theta)^2) d theta

= int (sec^2 theta)/(sec^4 theta) d theta

= int (1)/(sec^2 theta) d theta

= int cos^2 theta d theta

Agora outra identidade trigonométrica:

= int ((1 + cos 2 theta)/(2)) d theta

= (1)/(2) int 1 + cos 2 theta d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

(1)/(2) int 1 + cos 2 theta d theta

= (1)/(2) [theta + (1)/(2) sin 2 theta] + C

= (theta)/(2) + (sin 2 theta)/(4) + C

Outra identidade trigonométrica:

(theta)/(2) + (sin theta cos theta)/(2) + C

Aí então, voltamos para x :

(arctan x)/(2) + (1)/(2) ((x)/(sqrt(x^2 + 1 ))) ((1)/(sqrt(x^2 + 1))) + C

= (arctan x)/(2) + (x)/(2 (x^2 + 1)) + C

Resposta

(arctan x)/(2) + (x)/(2 (x^2 + 1)) + C

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