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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 19

Calcule a integral.

int e^x sqrt(1 - e^(2 x)) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int e^x sqrt(1 - e^(2 x)) d x

= int sqrt(1 - (e^x)^2) e^x d x

Vamos chamar:

e^x = sin theta

e^x d x = cos theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

int sqrt(1 - sin^2 theta) * cos theta d theta

Usamos então a indentidade trigonométrica, aí fica assim:

= int sqrt(cos^2 theta) * cos theta d theta

= int cos theta * cos theta d theta

= int cos^2 theta d theta

Usando outra identidade trigonométrica:

int ((1 + cos 2 theta)/(2)) d theta

= int (1)/(2) + (cos 2 theta)/(2) d theta

= (1)/(2) int 1 + cos 2 theta d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

(1)/(2) int 1 + cos 2 theta d theta

= (1)/(2) [theta + (sin 2 theta)/(2)] + C

= (theta)/(2) + (sin 2 theta)/(4) + C

= (theta)/(2) + (2 sin theta cos theta)/(4) + C

= (theta)/(2) + (sin theta cos theta)/(2) + C

Aí então, voltamos para x :

(arcsin e^x)/(2) + (e^x * sqrt(1 - e^(2 x)))/(2) + C

= (arcsin e^x + e^x * sqrt(1 - e^(2 x)))/(2) + C

Resposta

(arcsin e^x + e^x * sqrt(1 - e^(2 x)))/(2) + C

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