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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 91

Calcule a integral definida.

int_0^(pi // 2) (1)/(12 + 13 cos t) d t

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = int_0^(pi // 2) (1)/(12 + 13 cos t) d t

Para resolver essa integral você deve recorrer à substituição z = tan (1)/(2) t apresentada na seção 9.7. Quando fazemos essa substituição, temos que

cos t = (1 - z^2)/(1 + z^2) e d x = (2)/(1 + z^2) d z

Assim, não esquecendo de trocar os limites de integração:

I = int_0^1 (1)/(12 + 13 * (1 - z^2)/(1 + z^2)) * (2)/(1 + z^2) d z = int_0^1 (2)/(12 + 12 z^2 + 13 - 13 z^2) d z

Assim,

I = int_0^1 (2)/(25 - z^2) d z

Passo 2

Para calcular essa integral usamos frações parciais:

(2)/(25 - z^2) = (2)/(( 5 - z ) ( 5 + z )) = (A)/(5 - z) + (B)/(5 + z)

Portanto,

A (5 + z) + B (5 - z) = 2 => (A - B) z + 5 (A + B) = 2

Logo,

{[[A - B = 0],[5 (A + B) = 2]])

Temos que A = B :

10 A = 10 B = 2 => A = B = (1)/(5)

Portanto,

I = (1)/(5) int_0^1 ((1)/(5 - z) + (1)/(5 + z)) d z = (1)/(5) int_0^1 ((1)/(z + 5) - (1)/(z - 5)) d z

Portanto,

I = ((1)/(5) ln |z + 5| - (1)/(5) ln |z - 5|)_0^1 = ((1)/(5) ln |(z + 5)/(z - 5)|)_0^1

Passo 3

Substituindo os limites de integração:

I = (1)/(5) (ln (6)/(4) - ln 1)

Logo,

I = (1)/(5) ln (3)/(2)

Resposta

(1)/(5) ln (3)/(2)

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