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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 28

Calcule a integral definida:

int_0^1 (x^2 d x)/(sqrt(4 - x^2))

Passo 1

Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? A primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver a integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos 2^2 - x^2 no denominador, isso indica a substituição com o seno, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 2 sen theta .

Passo 2

Façamos então a substituição:

[[x,=,2,sen theta],[d,x,=,2,cos theta,d,theta]]

Dessa forma, - x^2 = - 4 sen^2 theta -> 4 - x^2 = 4 - 4 sen^2 theta = 4 overset(cos^2 theta)(obrace (1 - sen^2 theta)) = 2^2 cos^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral:

int (x^2 d x)/(sqrt(4 - x^2)) = int (4 sen^2 theta * 2 cos theta d theta)/(sqrt(2^2 cos^2 theta)) = (4 * 2)/(2) int (sen^2 theta cos theta d theta)/(cos theta) = 4 int sen^2 theta d theta

Aqui vamos usar a relação uma relação trigonométrica.

4 int sen^2 theta d theta = 4 int (1 - cos 2 theta)/(2) d theta = 2 int ( 1 - cos 2 theta ) d theta = 2 (theta - (sen 2 theta)/(2)) + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = 2 sen theta , temos:

int (x^2 d x)/(sqrt(4 - x^2)) = 2 theta - overset(2 sen theta cos theta)(obrace sen 2 theta) + C = 2 theta - 2 sen theta cos theta + C

Perceba que theta = sen^(- 1) (x)/(2) , pois x = 2 sen theta . Para achar cos theta nós olhamos o triângulo da substituição som seno construído no início e utilizamos as relações trigonométricas. Temos então:

sen theta = (x)/(2) e cos theta = (sqrt(a^2 - x^2))/(a) = (sqrt(4 - x^2))/(2)

Dessa forma,

int (x^2 d x)/(sqrt(4 - x^2)) = 2 theta - 2 sen theta cos theta + C = 2 sen^(- 1) (x)/(2) - 2 ((x)/(2)) (sqrt(4 - x^2))/(2) + C

int (x^2 d x)/((x^2 + 4)^2) = 2 sen^(- 1) (x)/(2) - (x sqrt(4 - x^2))/(2) + C

Passo 5

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_0^1 (x^2 d x)/(sqrt(4 - x^2)) = ((2 sen^(- 1) (x)/(2) - (x sqrt(4 - x^2))/(2))|_0^1

= (2 sen^(- 1) (1)/(2) - (sqrt(4 - 1))/(2)) - (2 sen^(- 1) (0)/(2) - (0 sqrt(4 - 0^2))/(2))

= 2 sen^(- 1) (1)/(2) - (sqrt(3))/(2) = (2 pi)/(6) - (sqrt(3))/(2) = (pi)/(3) - (sqrt(3))/(2) = (2 pi - 3 sqrt(3))/(6)

E esse é o resultado procurado. Lembre-se que sen^(- 1) (1)/(2) = (pi)/(6) .

Resposta

int_0^1 (x^2 d x)/(sqrt(4 - x^2)) = (2 pi - 3 sqrt(3))/(6)

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