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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 24

Calcule a integral indefinida:

int (sqrt(16 - e^(2 x)))/(e^x) d x

Passo 1

Pessoal, essa integral será resolvida pelo método da substituição trigonométrica, porém, antes devemos fazer uma substituição simples. Seja u = e^x -> d u = e^x d x , então:

int (sqrt(16 - e^(2 x)))/(e^x) d x = int (e^x sqrt(16 - (e^x)^2))/(e^x e^x) d x = int (e^x sqrt(16 - (e^x)^2))/((e^x)^2) d x = int (sqrt(16 - u^2))/(u^2) d u

Agora podemos usar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos a expressão 4^2 - u^2 no, isso indica a substituição com o seno, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser u = 4 sen theta . Façamos então a substituição:

[[u,=,4,sen theta],[d,u,=,4,cos theta,d,theta]]

Dessa forma, - u^2 = - 4^2 sen^2 theta -> 16 - u^2 = 16 - 16 sen^2 theta = 16 ( 1 - sen^2 theta ) = 4^2 cos^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável e resolver.

int (sqrt(16 - u^2))/(u^2) d u = int (sqrt(4^2 cos^2 theta))/(( 4 sen theta )^2) 4 cos theta d theta = (4 * 4)/(4^2) int (cos^2 theta)/(sen^2 theta) d theta = int cot^2 theta d theta

= int ( overset(cot^2 theta)(obrace csc^2 theta - 1) ) d theta = - cot theta - theta + C

Lembre-se que (– cot theta) ' = csc^2 theta .

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo u = 4 sen theta , então theta = sen^(- 1) ((u)/(4)) . Para achar cot theta nós olhamos o triângulo da substituição com s e n construído no início e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

cot theta = (sqrt(a^2 - x^2))/(x) -> cot theta = (sqrt(16 - u^2))/(u)

No triângulo está x , mas nós efetuamos a substituição usando u , então basta trocar. Dessa forma, o resultado da integral será:

int (sqrt(16 - e^(2 x)))/(e^x) d x = - cot theta - theta + C = - (sqrt(16 - u^2))/(u) - sen^(- 1) ((u)/(4)) + C

Também efetuamos a substituição u = e^x , então, o resultado da integral é:

int (sqrt(16 - e^(2 x)))/(e^x) d x = - (sqrt(16 - ( e^x )^2))/(e^x) - sen^(- 1) ((e^x)/(4)) + C

Resposta

int (sqrt(16 - e^(2 x)))/(e^x) d x = - (sqrt(16 - e^(2 x)))/(e^x) - sen^(- 1) ((e^x)/(4)) + C

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