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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 15

Calcule a integral

int_0^a x^2 sqrt(a^2 - x^2) d x

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😁

Nesse problema temos que calcular a integral

int_0^a x^2 sqrt(a^2 - x^2) d x

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

x = a sin (theta)

Diferenciando, temos que

d x = a cos (theta) d theta

Tudo beleza?!

Passo 2

Vamos calcular os novos limites de integração e depois substituir na nossa integral

theta_i n f e r i o r : 0 = a sin (theta) :. theta = 0

theta_s u p e r i o r : a = a sin (theta) :. theta = (pi)/(2)

Convertendo nossa integral para a nova variavel, temos

int_0^a x^2 sqrt(a^2 - x^2) d x = int_0^((pi)/(2)) a^2 sin^2 (theta) sqrt(a^2 - a^2 sin^2 (theta)) a cos (theta) d theta

int_0^a x^2 sqrt(a^2 - x^2) d x = int_0^((pi)/(2)) a^2 sin^2 (theta) sqrt(a^2 (1 - sin^2 (theta))) a cos (theta) d theta

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sin^2 (theta) + cos^2 (theta) = 1 ?! Vamos usá-la, então, substituindo

int_0^((pi)/(2)) a^2 sin^2 (theta) sqrt(a^2 ( 1 - sin^2 (theta)) a cos (theta) d theta = int_0^((pi)/(2)) a^2 sin^2 (theta) sqrt(a^2 cos^2 (theta)) a cos (theta) d theta

int_0^a x^2 sqrt(a^2 - x^2) d x = int_0^((pi)/(2)) a^2 sin^2 (theta) * a cos (theta) * a cos (theta) d theta

int_0^a x^2 sqrt(a^2 - x^2) d x = a^4 int_0^((pi)/(2)) sin^2 ( theta ) cos^2 ( theta ) d theta

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Pra resolver esta integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

sin^2 (theta) cos^2 (theta) = (1)/(8) [1 - cos (4 theta)]

Então, substituindo

a^4 int_0^((pi)/(2)) sin^2 (theta) cos^2 (theta) d theta = (a^4)/(8) int_0^((pi)/(2)) (1 - cos (4 theta)) d theta = (a^4)/(8) [theta - (sin (4 theta))/(4)]_0^((pi)/(2))

a^4 int_0^((pi)/(2)) sin^2 (theta) cos^2 (theta) d theta = (a^4)/(8) [((pi)/(2) - 0) - (0 - 0)]

int_0^a x^2 sqrt(a^2 - x^2) d x = (a^4 pi)/(16)

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

int_0^a x^2 sqrt(a^2 - x^2) d x = (pi a^4)/(16)

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